非交換換面上的Sarnak問題以及若干拓?fù)淠Ｐ偷难芯?/H1>
發(fā)布時(shí)間：2018-04-05 19:10
本文選題：Sarnak猜測(cè) 切入點(diǎn)：冪零序列 出處：《中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)》2016年博士論文
【摘要】：本論文包括兩個(gè)主題：第一部分是關(guān)于非交換環(huán)面自同構(gòu)等系統(tǒng)上的Samak猜測(cè)的研究：第二部分涉及遍歷系統(tǒng)的拓?fù)淠Ｐ鸵约跋嚓P(guān)的應(yīng)用等。本文具體安排如下：在引言中,我們?cè)敿?xì)介紹了Sarnak猜測(cè)和遍歷系統(tǒng)的拓?fù)淠Ｐ屠碚摰谋尘昂妥罱囊恍┻M(jìn)展。與此同時(shí)也簡(jiǎn)要介紹了我們的相關(guān)工作。在第一章中,我們介紹論文中所涉及的關(guān)于拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)和遍歷理論、C*代數(shù)等的一些基本概念和結(jié)果。特別的,我們介紹了Sarnak猜測(cè)在C*代數(shù)中的等價(jià)命題及其證明概要。在第二章中,我們證明了環(huán)面、冪零流形和緊交換群上的仿射為零熵的當(dāng)且僅當(dāng)空間中點(diǎn)的軌道閉包為冪零系統(tǒng)的逆極限。尤其,如果這些系統(tǒng)是零熵的,那么其上生成的序列為幾乎冪零序列,由此給出Sarnak猜測(cè)對(duì)于這些系統(tǒng)成立的新證明。在第三章中,我們通過研究Voiculescu-Brown熵為零的非交換環(huán)面自同構(gòu),證明了對(duì)于非交換環(huán)面自同構(gòu)Sarnak猜測(cè)的C*代數(shù)版本是成立的。具體的講,我們證明了任何由零Voiculescu-Brown熵非交換環(huán)面自同構(gòu)生成的序列為幾乎冪零序列,從而根據(jù)Green-Tao的結(jié)果它與Mobius函數(shù)正交,由此證明了對(duì)于非交換環(huán)面自同構(gòu)Samak猜測(cè)的C*代數(shù)版本成立。為了得到上述結(jié)果,我們將問題轉(zhuǎn)化為Hilbert空間上關(guān)于酉算子的一個(gè)一般性結(jié)果。從第四章開始我們研究遍歷系統(tǒng)的拓?fù)淠Ｐ汀?dòng)力系統(tǒng)中一個(gè)經(jīng)典結(jié)果指出：任何遍歷系統(tǒng)間的擴(kuò)充都有拓?fù)鋵?shí)現(xiàn)。我們?cè)诘谒恼轮屑訌?qiáng)了這個(gè)結(jié)果,證明了任何遍歷系統(tǒng)的擴(kuò)充都有拓?fù)淙趸旌匣蛘哂邢迣?duì)一的拓?fù)鋵?shí)現(xiàn)。在第五章中,我們研究了遍歷系統(tǒng)非極小的拓?fù)淠Ｐ�。我們證明了對(duì)于任何遍歷系統(tǒng),它具有兩個(gè)非極小拓?fù)淙趸旌锨胰蔚耐負(fù)淠Ｐ停浩渲幸粋�(gè)的極小點(diǎn)稠密,另外一個(gè)有且僅有一個(gè)極小點(diǎn)。作為應(yīng)用,我們構(gòu)造了諸如強(qiáng)混合但是漸近的Kolmogorov系統(tǒng)等例子回答了拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中的一些問題。在證明中,我們加強(qiáng)了Weiss的一個(gè)結(jié)果,解釋了如何從一個(gè)柱高互素的Kakutani-Rokhlin塔得到新的更高的柱高互素的Kakutani-Rokhlin塔。這個(gè)引理可以簡(jiǎn)化Weiss關(guān)于Jewett-Krieger定理和他加倍極小模型定理的證明,以及應(yīng)用到類似的問題中去。
[Abstract]:This thesis includes two topics: the first part is about the Samak conjecture on systems such as noncommutative torus automorphism, and the second part deals with the topological model of ergodic system and its related applications.In the introduction, we introduce the background of topological model theory of Sarnak conjecture and ergodic system and some recent developments.At the same time, we also briefly introduced our related work.In the first chapter, we introduce some basic concepts and results about topological dynamical system and ergodic theory C * algebra.In particular, we introduce the equivalent propositions of Sarnak conjectures in C * algebras and their propositions.In chapter 2, we prove that affine on torus, nilpotent manifold and compact commutative group is zero entropy if and only if the orbital closure of the point in a space is the inverse limit of a nilpotent system.In particular, if these systems are of zero entropy, the sequences generated on them are almost nilpotent sequences, so a new proof of Sarnak's conjecture for these systems is given.In chapter 3, by studying the noncommutative torus automorphism with zero Voiculescu-Brown entropy, we prove that the C * algebraic version of Sarnak conjecture for noncommutative torus automorphism is true.In particular, we prove that any sequence generated by zero Voiculescu-Brown entropy noncommutative torus automorphism is almost nilpotent sequence, which is orthogonal to Mobius function according to the result of Green-Tao.It is proved that the C * algebraic version of Samak conjecture for noncommutative torus automorphism is true.In order to obtain the above results, we transform the problem into a general result on unitary operators on Hilbert spaces.In chapter 4, we study the topological model of ergodic system.A classical result of dynamical systems shows that any extension between ergodic systems has topological implementation.In chapter 4, we strengthen this result and prove that any extension of ergodic systems has topology weakly mixed or finitely one-to-one topological implementations.In chapter 5, we study the nonminimal topological model of ergodic systems.We prove that for any ergodic system, it has two nonminimal topological weakly mixed and fully supported topological models: one has dense minimal points and the other has and has only one minimal point.As applications, examples such as strongly mixed but asymptotically Kolmogorov systems are constructed to answer some problems in topological dynamical systems.In the proof, we strengthen one of the results of Weiss and explain how to obtain a new and higher column high reciprocal Kakutani-Rokhlin tower from a column high reciprocity Kakutani-Rokhlin tower.This Lemma can simplify the proof of Weiss's theorem on Jewett-Krieger 's theorem and his theorem of double minimal model and its application to similar problems.
【學(xué)位授予單位】：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O19
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，
本文編號(hào)：1716097
本文鏈接：http://sikaile.net/shoufeilunwen/jckxbs/1716097.html
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，本文編號(hào)：1716097
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