本文選題：范疇代數　切入點：有限EI范疇　出處：《中國科學技術大學》2017年博士論文

【摘要】：本博士論文研究有限EI范疇代數的Gorenstein同調性質.具體來說,我們研究了有限EI范疇代數的Gorenstein性、有限EI范疇代數上Gorenstein投射模的張量積、有限EI范疇代數上平凡模的極大Cohen-Macaulay逼近以及有限EI范疇代數的奇點范疇的譜等相關內容.論文的具體安排如下:在第一章中,我們首先回顧了范疇代數、張量三角范疇、奇點范疇以及Goren-stein 同調代數的歷史起源與發(fā)展現況.然后,我們介紹了論文的主要結果.最后,我們簡要地介紹了論文的結構.在第二章中,我們介紹了范疇代數、Gorenstein同調代數以及三角矩陣環(huán)的基本定義和已知結果.特別地,我們給出了上三角矩陣環(huán)上的投射模、內射模以及Gorenstein投射模的具體刻畫.然后,我們介紹了后面章節(jié)將要用到的一些工具.在第三章中,我們首先回顧了上三角矩陣環(huán)的定義和基本性質.然后,我們觀察到有限EI范疇代數與某個上三角矩陣代數同構.從而,我們以上三角矩陣代數為工具給出了有限EI范疇代數成為Gorenstein代數的充分必要條件:有限EI范疇代數是Gorenstein代數當且僅當所給定的有限EI范疇為有限投射的.在這里,我們引入了新的概念:投射范疇.最后,我們給出了有限自由EI范疇的等價刻畫,并給出了有限EI范疇代數是1-Gorenstein代數的充分必要條件:有限EI范疇代數是1-Gorenstein代數當且僅當所給定的有限EI范疇為有限投射自由EI范疇.在第四章中,我們首先給出了有限EI范疇代數上Gorenstein投射模張量封閉的等價刻畫:有限EI范疇代數上Gorenstein投射模張量封閉當且僅當其上的投射模張量封閉.然后,我們給出了有限投射的EI范疇代數上Gorenstein投射模張量封閉的一個必要條件:所給定的有限投射的EI范疇中的每個態(tài)射均為單射.最后,我們證明了有限投射的自由EI范疇代數上Gorenstein投射模張量封閉的一個充分必要條件為所給定的范疇中的每個態(tài)射均為單射.在第五章中,我們首先回顧了有限EI范疇代數的模范疇與某個函子范疇等價,并由此等價將有限EI范疇代數的模范疇與此函子范疇視為一致.然后,在有限自由EI范疇的條件下,我們具體構造了函子E,并且證明了:若所給有限自由EI范疇還是投射的,則我們所構造的函子E,看作范疇代數上的模,是Gorenstein投射模.我們還給出了平凡模成為Gorenstein投射模的條件.最后,我們得到了本章的主要結果:上述所構造的函子E是范疇代數上平凡模的極大Cohen-Macaulay 逼近.我們所構造的函子E是 Gorenstein 投射模范疇的穩(wěn)定范疇的張量單位.在第六章中,我們考察了 Gorenstein范疇代數的奇點范疇的譜.我們回顧了Schur函子的概念,并用它來描述限制函子.從而,我們觀察到,限制函子是Verdier商函子.我們利用Verdier商函子重新證明了徐斐關于范疇代數上的模范疇的有界導出范疇的譜的刻畫.利用Verdier商函子,我們給出了關于Gorenstein范疇代數的奇點范疇的譜的類似的刻畫.
[Abstract]:Gorenstein homological properties of this doctoral dissertation research category EI algebra. Specifically, we studied the Gorenstein of finite category EI algebra, EI algebra Gorenstein finite projective tensor approximation, maximal Cohen-Macaulay trivial module finite EI algebra and EI algebra in the category of finite category singularity spectrum and other related content. The arrangement of this paper are as follows: in the first chapter, we first reviewed the category of algebra, tensor triangulated category, in singularity category Goren-stein homological algebra and historical origin and development. Then, we introduce the main results of this paper. Finally, we briefly introduce the structure of the thesis. In the second chapter, we introduce the category Gorenstein algebra, homological algebra and triangular matrix rings of basic definitions and known results. In particular, we give a projective upper triangular matrix rings, Injective modules and specific characterizations of Gorenstein projective modules. Then, we introduce some tools that will be used in later chapters. In the third chapter, we first review the definition of upper triangular matrix rings and basic properties. Then, we observed the finite EI algebra and a category three angle matrix algebra isomorphism. Thus, we over triangular matrix algebra presents a necessary and sufficient condition for Gorenstein algebras of finite EI algebra to be a category: limited category of EI algebra is Gorenstein algebra if and only if the given finite EI category for finite projective. Here, we introduce a new concept: the project category. Finally, we give an equivalent characterization of Co. free EI category, and given the limited EI algebra is a sufficient and necessary condition for 1-Gorenstein algebras, EI algebras are 1-Gorenstein algebras of finite category if and only if the given category of EI Co. Finite projective free EI category. In the fourth chapter, we first give the equivalent characterizations of finite EI algebras category Gorenstein projective tensor closure: finite EI category algebra Gorenstein projective tensor closed IFF closed on the projective tensor. Then, we give a necessary condition of EI algebra the finite projective Gorenstein projective tensor closure: every morphism category EI finite projective given in all single shot. Finally, we prove that every morphism category and a necessary and sufficient condition of free EI algebra on finite projective Gorenstein projective tensor closed as given in the is a single shot. In the fifth chapter, we first review of a category of finite EI algebra and a functor category is equivalent to the category, and thus the model domain equivalent finite EI algebras and the category of the functor category as Consistent. Then, in the EI category under the condition of limited freedom, we construct the functor E, and prove that if the limited free EI category or projection, we constructed the E functor, as the category of algebraic model, Gorenstein projective modules. We also give the ordinary mode become Gorenstein projective modules. Finally, we obtain the main results of this chapter: the structure of the functor E is maximal Cohen-Macaulay approximation trivial module category algebra. We construct the functor E is a tensor category Gorenstein projection unit stable module category. In the sixth chapter, we study the category of singularities Gorenstein algebra the spectrum. We review the concept of Schur functors, and use it to describe the restriction functor. Thus, we observed that the restriction functor Verdier functor. We use Verdier to prove Xu Fei about taking functor A category of the category of algebraic characterization of bounded derived category of the spectrum. By Verdier quotient functor, we give a description of the singularity category of a Gorenstein category algebra spectrum is similar.

【學位授予單位】：中國科學技術大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O154.1

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本文編號：1704552