本文選題：有限體積元法　切入點(diǎn)：正交規(guī)則　出處：《吉林大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：有限體積元法(FVEM)是求解偏微分方程的主要方法之一。由于具有局部積分守恒性質(zhì),可以保持質(zhì)量、動量、能量等物理量的局部守恒,有限體積元法被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、電磁學(xué)、半導(dǎo)體模擬和石油工程等領(lǐng)域。二階橢圓型方程有限體積元法的理論研究主要包括穩(wěn)定性分析、收斂性分析以及超收斂分析等方面的內(nèi)容。其中,有限體積元格式的穩(wěn)定性(即雙線性形式的正定性)是誤差估計的基礎(chǔ)。三角形網(wǎng)格上線性有限體積元法的收斂性分析已經(jīng)比較完善和透徹。而對于三角形網(wǎng)格上高次有限體積元法的L2誤差估計和超收斂長期沒有結(jié)果。特別地,對于二次有限體積元法而言,人們甚至不能確定最佳L2收斂階是否可以達(dá)到,更不要說超收斂了。本文以變系數(shù)二階橢圓型方程為模型,1)通過求解所提出的正交條件方程得到了能夠保證三角形網(wǎng)格上任意k次有限體積元法具有最佳L2收斂階的對偶剖分做法。2)然后,通過Aubin-Nitsche技巧和正交條件從理論上證明了L2誤差估計。3)特別地,對于三角形上二次有限體積元法,具有最佳L2收斂階的有限體積元格式也是唯一具有超收斂的二次格式。本文運(yùn)用了單元相消技術(shù)以及正交條件,給出了超收斂性質(zhì)相應(yīng)的理論證明。首先,本文對三角形網(wǎng)格上Lagrange型有限體積元法,提出了確定其對偶剖分Τh*構(gòu)造方式的正交條件：給定原剖分Τh和k次試探函數(shù)空間,相應(yīng)的(k-1)次正交條件為這里li(i=1,2,3)分別表示單元K的三個邊。Πh*為基于Τh*的分片常數(shù)插值算子。對任意的k0,通過求解(k-1)次正交條件方程(1)和(2)所形成的非線性方程組,可以得到具有最佳L2收斂階的k次有限體積元格式。特別地,對于二次有限體積元法,正交條件所導(dǎo)致的格式是唯一具有超收斂的二次FVEM格式。需要說明的是,正交條件是保證有限體積元格式具有最佳L2收斂階的充分條件。其次,本文研究了三角形網(wǎng)格上一般變系數(shù)二階橢圓形方程有限體積元法的L2誤差估計,給出了任意k次正交有限體積元格式L2誤差估計證明的一致框架。為了得到有限體積元法的L2誤差估計,我們需要估計有限元的雙線性形式a(·：·)和有限體積雙線性形式ah(.,Πh*·)的差。運(yùn)用基于原剖分Τh的分片線性插值算子Ⅱhl(而非分片k次插值算子Πhk),FEM格式的雙線性形式a(u-uh,Πhlw)和FVEM格式的雙線性形式ah(u-uh,Πh*(Πh1w))的差可以被轉(zhuǎn)化為兩部分：單元內(nèi)部積分和單元邊界的積分。然后,應(yīng)用Aubin-Nistche技巧、正交規(guī)則以及FVEM格式穩(wěn)定性結(jié)果,我們可以獲得任意k次正交有限體積元格式L2誤差估計的一致結(jié)果(定理1)。定理1.設(shè)為問題(2.1)的解,且Τh是正規(guī)網(wǎng)格。對于k次Lagrange試探函數(shù)空間Uh,選取滿足(k-1)次正交條件的對偶剖分Τh*,orh。則存在一個常數(shù)C0使得其中,uh為有限體積法的解。最后,本文研究了三角形網(wǎng)格上二次有限體積元法的超收斂。當(dāng)精確解滿足一定的正則性,原剖分為C均勻網(wǎng)格且對偶剖分滿足正交條件時,相應(yīng)二次有限體積元格式具有第一弱估計、按H1模的超收斂、按L2模的超收斂以及有限體積元解在插值節(jié)點(diǎn)(位移佳點(diǎn))處的超收斂。通過正交條件和單元相消技術(shù),借助于FVEM的穩(wěn)定性結(jié)果[11,69]和FEM的超收斂結(jié)果[18,65],我們證明了二次正交FVEM格式的第一弱估計(定理2)。定理2(第一弱估計).設(shè)原剖分Τh為Ω上的C一致三角形剖分。若問題(2.1)的精確解u滿足則其中為u在原剖分Τh上的分片二次插值。令wh=uh-uI,由有限體積法的穩(wěn)定性[11,69]以及定理2即得Mh-uI按H1模的超收斂(定理3)。定理3.對橢圓型問題(2.1),令原剖分Τh為Ω上的C均勻剖分。假設(shè)問題的精確解u滿足則在定理3的基礎(chǔ)之上,運(yùn)用Aubin-Nitsche技巧和正交條件,我們證明了uh-uI,按L2模的超收斂和u-uh在插值節(jié)點(diǎn)處的超收斂(即按離散L2模的超收斂)(定理4)。定理4.對橢圓型問題(2.1),令剖分Τh為區(qū)域Ω的C均勻網(wǎng)格剖分。設(shè)問題的精確解u滿足則這里N表示所有的插值結(jié)點(diǎn)。||·||0,N表示在插值節(jié)點(diǎn)處離散的L2模,定義詳見正文第四章。除此而外,本文還呈現(xiàn)了一些數(shù)值實驗的結(jié)果以驗證理論的正確性。
[Abstract]:Finite volume element method ( FVEM ) is one of the main methods for solving partial differential equations .

【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前4條

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2 陳仲英;廣義差分法一次元格式的L~2－估計[J];中山大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版);1994年04期

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本文編號：1698109