本文選題：Clifford代數(shù)　切入點：張量積　出處：《吉林大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：Clifford代數(shù)是由英國數(shù)學(xué)家W.K.Clifford(1845-1879)引入的一類結(jié)合代數(shù),其目的是為了把四元數(shù)推廣到任意有限維的情形.由于Clifford代數(shù)具有通用性的特點以及它有直觀的幾何解釋,使得其在物理、黑洞、宇宙論、量子軌道、量子場理論、機器人、計算機視覺等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用Clifford代數(shù)的研究以Cartan與Atiyah,Bott和Shapiro給出了實Clifford代數(shù)的八周期理論達到了空前的高峰.本文在八周期理論的基礎(chǔ)上,研究了實Clifford代數(shù)Clp,q在中心上的張量積及表示,實Clifford代數(shù)Clp,q的單位群的矩陣表示,Clifford群的性質(zhì)和實Clifford代數(shù)的生成空間一n維Minkowski空間中的格序半群結(jié)構(gòu).本文內(nèi)容安排如下：第一章介紹了本文研究的背景、相關(guān)進展以及我們得到的一些主要結(jié)果.第二章介紹了與本文研究相關(guān)的預(yù)備知識.第三章首先我們研究了實Clifford代數(shù)Clp,q在中心上的張量積和矩陣表示.根據(jù)實Clifford代數(shù)的八周期理論給出了實Clifford代數(shù)Clp,q的張量積的統(tǒng)一表達式,并同時給出了張量積形式下的矩陣表示.定理3.1.3.對于任意非負整數(shù)p,q,我們有其中p+q≡ε mod 2,k=((p+q)-ε)/2,p-|q-ε|≡i mod 8,δ=[i/4],[i/4]表示i/4的整數(shù)部分.推論3.1.1.其中p+q≡ε mod 2,k=((p+q)-ε)/2,p-|q-ε|≡i mod 8,δ=[i/4].接著我們給出了實Clifford代數(shù)Cl0.2k+1的一個較簡單的張量積及矩陣表示.定理3.2.1.設(shè)k是非負整數(shù),則其中2k+1≡αmod 8,δ=[1-{α/3}],{α/3}為α/3的小數(shù)部分.定理3.2.2.設(shè)k是非負整數(shù),其中2k+1≡α mod 8,δ=[1-{α/3}].最后,我們討論了實Clifford代數(shù)Clp,q的張量積因子Cl1,1的結(jié)構(gòu).在第四章中,首先我們給出了實Clifford代數(shù)的矩陣表示分類.定理4.1.1.對于非負整數(shù)p,q,任取F∈End(Clp,q),則F在Cen(Clp,q)上的限制映射f∈End(Cen(Clp,q))滿足其中p+g≡εmod 2,k=((p+q)-ε)/2,p-|q-ε|≡i mod 8,δ=[i/4].接下來我們給出了Clp,q(p+q=3)的忠實的實矩陣表示與非忠實的實矩陣表示,進而能夠算出實Clifford代數(shù)的全部的實矩陣表示.在第五章中,首先根據(jù)第三章與第四章我們研究的實Clifford代數(shù)的張量積與表示討論了實Clifford代數(shù)的單位群Clp,q*的矩陣表示.定理5.1.1.其中p+q≡ε mod 2,k=((p+g)-ε)/2,p-|q-ε|≡i mod 8,δ=[i/4].然后我們利用實Clifford代數(shù)的三種對合刻畫了實Clifford代數(shù)Clp,q,(p+q=3)的可逆元的特點并給出了其單位群的矩陣表示.定理5.2.2.令Z(Clp,q)表示Clp,q的零因子集.(1)Cl0.3*={α+βe123∈Cl0,3|α,β∈e1,e2,α≠±β},Cl2,1*={α+βe123∈Cl2,1|α,β∈e1,e2,(α≠β)(α±β)≠0},Cl3,0*={α+βe123∈Cl3,0|α,β∈e1,e2,aa≠0}.(z)Z(Cl0,3)={α+βe123∈Cl0,3|α,β∈e1,e2,α=±β},z(Cl2,1)={α+βe123∈Cl2,1|α,β∈e1,e2,(α±β)(α±β)=0},z(Cl3,0)={α+βe123∈Cl3,0|α,β∈e1,e2,αα=0}.接下來,利用Clifford群Γp,q。與Rp,q基元的關(guān)系,刻畫了Clifford群的三個子集的關(guān)系.定理5.3.1.設(shè)p,q是非負整數(shù),令Γ1={α∈Cl[,q*| αxα-1'∈Rp,q,qq∈R,(?)x∈Rp,q}, Γ2={α∈Clp,q*| αxα∈Rp,q,qq∈R,(?)x∈Rp,q}, Γ3={α∈Clp,q*| αeiα∈Rp,q,i=1,…,p+g,aa∈R},則r1=r2=r3.最后,我們研究了實Clifford代數(shù)Cln-1的生成空間Rn-1,1中的格序半群結(jié)構(gòu).
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O177;O152

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本文編號：1689494