本文選題：非線性期望　切入點：上概率　出處：《山東大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：1713年,伯努利刻畫了大量經(jīng)驗觀測中所呈現(xiàn)的穩(wěn)定性,提出了以“伯努利定理”著稱的極限定理,自此以來,數(shù)學(xué)家們對于極限理論的研究已經(jīng)經(jīng)歷了300年。19世紀(jì)后期,極限理論的發(fā)展成為了概率論研究的中心課題。俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫、馬爾科夫等將前人的極限定理進一步一般化,在極限理論方面做出了重要貢獻。1933年,Kolmogorov由測度論途徑提出了概率論的六條公理,為現(xiàn)代概率論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。公理化后的概率論得到了快速發(fā)展并在現(xiàn)實生活中得到廣泛應(yīng)用。然而,傳統(tǒng)概率論中的大數(shù)定律、中心極限定理等經(jīng)典理論均建立在概率與期望的可加性的基礎(chǔ)之上。隨著科學(xué)與社會的發(fā)展,很多不確定現(xiàn)象并不滿足線性可加條件,因此有時經(jīng)典極限理論無法合理的解釋和預(yù)測這些不確定現(xiàn)象,從而極限理論的應(yīng)用一定程度上受到了線性可加條件的限制。以金融衍生品為例,其具有較大的利潤空間,同時亦擁有潛在的巨大風(fēng)險。其風(fēng)險行為多數(shù)不滿足線性可加條件。對其風(fēng)險的錯誤評估和管理將會導(dǎo)致嚴(yán)重的后果,小到引起某銀行、金融機構(gòu)或者保險公司的經(jīng)濟損失,大到造成國家乃至全球的金融危機。因此,如何更加合理、準(zhǔn)確的管理金融衍生品的風(fēng)險,成為金融業(yè)界以及學(xué)術(shù)界需要考慮的重要問題。這之中存在的挑戰(zhàn)性問題即為：金融衍生品的風(fēng)險行為一般是非線性的。因此經(jīng)典概率論中的概率與期望的可加性在此并不適用。學(xué)者進而尋求更加貼切的度量方法,試圖應(yīng)用非線性的數(shù)學(xué)理論來準(zhǔn)確刻畫風(fēng)險。目前對于精確的度量方法的研究仍處于起步階段,各種非線性的概率／期望理論尚處于建設(shè)之中,這就激發(fā)了我們對其進行進一步探索與研究的興趣。自Delbaen[41、Artzner與Delbaen[3]提出一致風(fēng)險度量以來,學(xué)者們開始廣泛關(guān)注非線性概率的研究。Pardoux與Peng[70]給出了倒向隨機微分方程(BSDE):的解的存在唯一性等性質(zhì),并于1997年[73]基于BSDE提出了非線性的g-期望以及g-條件期望。Gianin[53]發(fā)現(xiàn)了風(fēng)險測度與9-期望之間的關(guān)系,并給出了分別由g-期望以及g-條件期望定義的靜態(tài)風(fēng)險測度與動態(tài)風(fēng)險測度的相關(guān)性質(zhì)。Coquet等人[9]與Chen等人[30]研究了g=μ|z|這種特殊的生成元所對應(yīng)的g-期望εμ的性質(zhì),Gianin[53]進一步研究了由9-期望εμ誘導(dǎo)的風(fēng)險測度的性質(zhì),并給出了生成元g在風(fēng)險測度中的金融學(xué)解釋。另外,Chen與Epstein[31]于2002年發(fā)現(xiàn)了動態(tài)多先驗資產(chǎn)定價理論與g-期望理論之間的聯(lián)系,其得到的資產(chǎn)定價公式被稱為Chen-Epstein公式的。該成果發(fā)展了諾貝爾獎得主Lucas的理性預(yù)期資產(chǎn)定價理論,同時發(fā)現(xiàn)并證明了資產(chǎn)因素價格是系統(tǒng)價格與不確定性價格之和,進而解釋了Allais悖論和股票溢價之謎。這些成果在經(jīng)濟、數(shù)學(xué)和金融監(jiān)管界產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響�？梢�,非線性的g-期望是一個很好的描述風(fēng)險行為的理論工具。另外,Peng[75]提出了更為一般化的次線性期望空間的定義。次線性期望不依賴于相應(yīng)的概率,可以直接通過滿足單調(diào)性、保常性、次可加性以及正齊性的實值泛函來定義。結(jié)合偏微分方程的理論,在該次線性期望框架下Peng給出了最大分布、G-正態(tài)分布、G-布朗運動等概念,[44,75,78,80]等文獻證明了次線性期望下的大數(shù)定律、中心極限定理、Ito公式、G-BSDE等一系列結(jié)論,建立了一套比較完整的理論體系。Gong等人[107,108]將其理論應(yīng)用于風(fēng)險價值VaR、審慎性風(fēng)險監(jiān)管的研究之中,給出了R-VaR和R-ES指標(biāo),為解決涵納不確定性的審慎風(fēng)險管理提供了開拓性的理論與實證支持。與非線性期望理論相呼應(yīng)的即為非線性概率(容度)理論。在經(jīng)典的概率論中,期望與概率是相互唯一確定的,但是在非線性期望下二者不再存在一一對應(yīng)的關(guān)系。由給定的非線性期望可唯一確定非線性概率,但是反之并不成立,具體說明見第一章第一節(jié)。因此,非線性期望理論與非線性概率理論是兩個相關(guān)但不相同的理論體系。Choquet[11]于1954年提出容度的概念。容度可被理解為非線性概率,根據(jù)該容度其給出了Choquet期望的定義。由不同性質(zhì)的容度可以得到相應(yīng)的不同性質(zhì)的Choquet期望,許多經(jīng)典概率論下的重要結(jié)論在容度框架下得到了推廣(例如[35,67,94])。不同于經(jīng)典概率論中對于單一固定概率的研究,Chen等人[28,29,36]研究了對于一族概率測度取最大值所定義的上概率所具有的性質(zhì)與意義,其得到了“上概率下的強大數(shù)定律”,即樣本均值將收斂到由隨機變量上-下均值構(gòu)成的區(qū)間內(nèi),而不再是經(jīng)典概率論中的收斂到一點。受以上學(xué)者成果的啟發(fā),本文旨在進一步研究各種非線性概率和期望下的極限定理,推廣前人的成果,希望其可以進一步完善非線性概率論的理論體系,并將其更為合理廣泛的運用到實際當(dāng)中。本文共分為六章,其結(jié)構(gòu)及得到的主要結(jié)論如下：(Ⅰ)第一章第一節(jié)將簡單介紹幾種非線性概率、期望,以及其之間的聯(lián)系。第二節(jié)中我們將討論非線性概率空間下隨機變量的擬必然收斂的性質(zhì),并且得到Kolmogorov不等式、Rademacher不等式等相關(guān)結(jié)論。在第一章第一節(jié)中我們將總結(jié)介紹上概率、容度、次線性期望、Choquet期望、g-期望以及其之間的聯(lián)系,本文將著重于討論上期望空間以及上概率的相關(guān)理論。具體內(nèi)容見正文。在第二節(jié)中,我們研究了上期望空間中擬必然收斂與依容度收斂的性質(zhì)及相關(guān)引理,并且得到了相關(guān)不等式在上概率下的推廣。在此我們只列出主要結(jié)論。設(shè)(Q,F,P,E)為上期望空間,V為由P誘導(dǎo)的上概率。定理0.1.1.若X_n依容度收斂于X,則存在一列正整數(shù)nk→∞,使得X_nk→X q.s.。引理0.1.2.設(shè){X_n}n=1∞是上期望空間下的隨機變量列,若存在隨機變量X與一列正整數(shù)nk↑∞使得X_nk→X q.s.并且則可得到X_n→X q.s.。定理0.1.3.(Kolmogorov不等式)設(shè){X_i}i=1n為上期望空間(Q,F,P,E)下的獨立隨機變量列,對任意i≥1均有E[X_i]=ε[X_i]=0,E[X_i2]∞。記Sk=∑i=1k,X_i,那么對于任給∈0,有若進一步假設(shè)存在常數(shù)C,使得對于1≤i≤n,均有|X_i|≤C,則有定理0.1.4.設(shè){X_i}i=1∞為上期望空間下的獨立隨機變量列,對任意i≥1均有E[X_i]=ε[X_i]=0,并且滿足∑i=1∞,E[X_i2]∞,則S_n=∑i=1nX_i擬必然收斂。定理0.1.5.設(shè){X_i}i=1∞,為上期望空間下的一列隨機變量,且對任意i≠j均有E[X_iXj]≤0。設(shè){bn}n=1∞是一列單調(diào)遞增趨向于無窮的正數(shù)列,并且有∑n=1∞bmE[X_n2]∞。對于任意k≥1,令nk為使得bn≥k的最小的整數(shù),則有S_nk擬必然收斂。定理0.1.6.(Rademacher不等式)設(shè){X_i}i=1∞是上期望空間下的隨機變量列,且對于任意i≠j均有E[X_iXj]≤0。則定理0.1.7.設(shè){X_i}i=1∞是上期望空間下的隨機變量列,若對于任意i≠j均有E[X_iXj]≤0并且∑n=1∞(log n)2E[X_n2]∞,則S_n擬必然收斂。定理0.1.8設(shè)f與9分別為定義在Ha,n上的函數(shù),若下列條件成立(1)對于任意k≥1,m0與a≥0,均有f(Ha,k)+f(Ha+k,m)≤f(Ha,k+m);(2)對于任意n≥1與a≥0,均有E[(∑i=a+1a+1 X_i)2]≤f(Ha,n);(3)對于任意k≥1,m0與(a≥0,均有g(shù)(Ha,k)+g(Ha+k,m)≤g(Ha,k+m);(4)對于任意扎≥1與a≥0,均有g(shù)(Ha,n)≤K∞;(5)對于任意扎≥1與a≥0,均有f(Ha,n)≤Kg(Ha,n)/log2(a+1),則有S_n擬必然收斂。(Ⅱ)第二章將引入上期望空間中漸近負(fù)相關(guān)隨機變量的概念,并得到漸近負(fù)相關(guān)隨機變量部分和的Rosenthal不等式。最后,應(yīng)用該不等式我們將證明一個上概率下的大數(shù)定律。設(shè)(Ω,F,P,E)為上期望空間,V為P誘導(dǎo)的上概率。定義0.2.1.(漸近負(fù)相關(guān))設(shè){X_i}i=1∞為上期望空間(Ω,F,P,E)中的一列隨機變量,若存在一列非負(fù)序列{∏(n)}n=1∞,滿足limn→∞ η(n)=0,使得對任意n,k≥1與任意一致非增或者一致非減連續(xù)函數(shù)f與g,均有則稱{X_i}i=1∞為漸近負(fù)相關(guān)隨機變量列,其中,{η(n)}n=1∞稱為混合系數(shù)。引理0.2.2.設(shè)p1,q1并且1/p+1/q=1,{X_n)n=1∞是一列漸近負(fù)相關(guān)隨機變量,混合系數(shù)為{η(n)}n=1∞,則對于任意n,k≥1以及一致單調(diào)遞增或者一致單調(diào)遞減函數(shù)g,均有定理0.2.3.(Rosenthal不等式(a))設(shè)1/p+1/q=1并且1p≤2,{X_n}n=∞1為E下的漸近負(fù)相關(guān)隨機變量列,其混合系數(shù)為{η(n)}n=1β∞。若E[X_n]=ε[X_n]=0,則對于任意n≥1,均存在一個僅依賴于p的常數(shù)Cp,使得特別的,若∑n=1∞η2(n)∞,則對于任意n≥1,定理0.2.4.(Rosenthal不等式(b))設(shè)1/p+1/q=1并且p≥2,{X_n}n=1∞為E下的漸近負(fù)相關(guān)隨機變量列,其混合系數(shù)為{η(n)}n=1∞。若E[X_n]=ε[X_n]=0,則對于任意n≥1,均存在僅依賴于p的常數(shù)Cp與C'p,使得特別的,若∑n=1∞ηq/p(n)∞,則對于任意n≥1,均有定理0.2.5.設(shè)1/p+1/q=1并且1p≤2,b1,b2,…為單調(diào)遞增趨于無窮的正實數(shù)列。{X_n}n=1∞為E下的漸近負(fù)相關(guān)隨機變量列,混合系數(shù)為{η(n)}n=1∞,并且滿足E[X_n]=ε[X_n]=0。若∑n=1η2(n)∞與∑n=1∞E[X_n|p/bnp]∞,成立,則有l(wèi)imn→∞S_n/bn=0 q.s.。(Ⅲ)第三章將給出上期望空間中垂直獨立的概念,并將大數(shù)定律推廣到上概率下的加權(quán)大數(shù)定律。同時應(yīng)用該加權(quán)大數(shù)定律,進一步討論隨機變量列的穩(wěn)定性、給出不變原理以及負(fù)相關(guān)隨機變量的Marcinkiewicz-Zygmund型大數(shù)定律。定義0.3.1.(垂直獨立)設(shè)X1,X2,…,X_n+1為上期望空間(Ω,F,P,E)中的隨機變量,若對于R上滿足E[φi(X_i)]∞,i=1,…,n+1的任意非負(fù)可測函數(shù)φi(·)均有則稱X_n+1在E下垂直獨立于(X1,…,X_n)。若對于任意n∈N*,均有X_n+1垂直獨立于(X1,…,X_n),則稱{X_n}n=1∞為E下的垂直獨立隨機變量列。定理0.3.2.(加權(quán)大數(shù)定律(a))設(shè){X_i}i=1∞為上期望空間(Ω,F,P,E)中的垂直獨立隨機變量列,且存在常數(shù)α0,使得supi≥1 E[|X_i|α+1]∞。設(shè){ai}i=1∞是一列有界的正實數(shù),記An=∑i=1nai。若存在實數(shù)β∈(0,min(1,α))使得則有定理0.3.3.(加權(quán)大數(shù)定律(b))設(shè){X_i}i=1∞為上期望空間(Ω,F,P,E)中的垂直獨立隨機變量列,V為連續(xù)容度,且存在常數(shù)α0,使得supi≥1E[|X_i|∝+1]∞。設(shè){ai}i=1∞是一列有界的正實數(shù),記An=∑i=1nai。若存在實數(shù)β∈(0,min(1,α))使得則有定理0.3.4.(不變原理)設(shè)定理0.3.2中的條件均成立,則對于R上任意連續(xù)泛函φ(·),均有定義0.3.5.(負(fù)相關(guān))設(shè){X_n}n=1∞為上期望空間(Ω,F,P,E)中的一列隨機變量,A與B為{1,2,…,n}的兩個非空不交子集,并且對于任意i∈A以及j∈B均有ij,若其中f與9為一致非增或者一致非減的非負(fù)連續(xù)泛函,則稱{X_n}n=1∞,為E下的負(fù)相關(guān)隨機變量列。定理0.3.6.(Marcinkiewicz-Zygmund型大數(shù)定律)設(shè){X_i}i=1∞為上期望空間(Ω,F,P),E)中的NA負(fù)相關(guān)隨機變量列,且存在常數(shù)0α1,使得supi1 E[|X_i|α+1]∞。則對于任意1≤p1+α,均有(Ⅳ)第四章將給出上期望空間下卷積獨立性的概念以及Fatou型容度的概念,并在此框架下給出隨機變量的極限定理。在本章的最后我們給出卷積獨立隨機變量列關(guān)于Fatou型容度的Borel-Cantelli引理。定義0.4.1.(卷積獨立)設(shè)X與Y為上期望空間(Ω,F,P,E)中的隨機變量,如果對于任意φ∈Cb(R),均有則稱在E下Y卷積獨立于X。若對于任意n ∈N*,均有X_n+1卷積獨立于(X1,…,X_n),則稱{X_n}n=1∞為一列卷積獨立的隨機變量列。定義0.4.2.設(shè)V為定義在F到[0,1]上的容度,若對于An∈F,均有成立,則稱V為Fatou型容度。我們可以將第三章中的極限定理簡單的推廣到卷積獨立隨機變量關(guān)于Fatou型容度的相應(yīng)定理,并且可以進一步得到下列更新定理。定理0.4.3.設(shè){X_i}i=1∞為上期望空間(Ω,F,P,E)中一列非負(fù)卷積獨立隨機變量列,且存在常數(shù)a0,使得suPi≥1 E[|X|[α+1]∞。并且對于任意i=1,2,…,均有E[X_i]=μ,S[X_i]=μ,0μ≤μ。令S_n：=∑i=1nX_i,S0=0。定義則有定理0.4.4.(Borel-Cantelli引理)設(shè)上概率V為Fatou型容度。(An}n=1∞為一列F中的事件列。若{IAn}n=1∞為E下的卷積獨立隨機變量列,并且∑n=1∞V(An)=∞。則有(V)第五章將介紹次線性期望空間下的G-正態(tài)分布等概念,并將Peng的中心極限定理進行推廣。首先我們將均值條件E[X_n]=ε[X_n]=0放寬為|E[X_n]|ε[X_n]|=O(1/n),再應(yīng)用隨機變量截斷的方法,放寬隨機變量的各階矩條件,在次線性期望空間上得到兩種形式的中心極限定理。設(shè)(Ω,H,E)為次線性期望空間,在證明中心極限定理的過程中我們需要下列G-正態(tài)分布的概念。定義0.5.1.(G-正態(tài)分布)次線性期望空間(Ω,H,E)下的隨機變量X,滿足E[X2]=σ2與ε[X2]=σ2,如果對于任意X的獨立復(fù)制Y均有則稱x服從G-正態(tài)分布,記為X～N(0；σ2,σ2])。定理0.5.2.(中心極限定理(a))設(shè){X_n}n=1∞為次線性期望空間(Q,H,E)下的一列獨立隨機變量,記S_n=∑i=1n X_i,若滿足以下條件：則序列{S_n/(?)n}n=1∞依分布收斂于G-正態(tài)分布,即其中ζ～N(0;[σ2,σ2])。定理0.5.3.(中心極限定理(b))設(shè){X_n}n=1∞為次線性期望空間(Ω,H,E)下的獨立隨機變量列,記S_n=∑i=1nX_i,若滿足下列條件：則序列{S_n/(?)n}n=1∞依分布收斂于G-正態(tài)分布,即(Ⅵ)第六章將給出上-下集值概率以及上-下集值期望的概念,并在上集值空間中給出相應(yīng)的獨立性的定義,同時在該框架下給出關(guān)于上集值概率的強大數(shù)定律。進一步,將上集值概率空間中的概念推廣到上模糊集值概率空間中,最終得到關(guān)于上模糊集值概率的大數(shù)定律。定義0.6.1.(上-下集值概率)設(shè){Пn}n=1∞是一列無原子的閉集值概率,由F到P([0,1])分別定義兩個集值映射r(·)=∪n=1∞Пn(·)與Γ(·)=∩n=1∞Пn(·)。若對于任意A∈F,Un=1∞Пn(A)均為凸集,并且∩n=1∞n(A)均為非空凸集,則稱(Γ,Γ)為一對上-下集值概率。定義0.6.2.(上-下集值期望)設(shè)(Ω,F,r)為上集值概率空間,Γ是對應(yīng)于Γ的下集值概率。X：Ω→R為實值隨機變量,則X的上集值期望EΓ[X]定義為下集值期望EΓ[X]定義為定義0.6.3.(獨立性)設(shè)X1,X2,…,X_n+1為上集值概率空間(Ω,F,r)下的一列實值可測隨機變量。如果對于所有R上令{Er[φi(X_i)]}i=1n+1均為有界集的非負(fù)可測函數(shù)φi(·),均有則稱隨機變量X_n+1在Er下獨立于(X1,X2,…,X_n),其中集合A與B的乘積定義為AB={ab:a∈A.b∈B)。若對于任意n≥1均有X_n+1獨立于(X1,X2,…,X_n),則稱{X_n}n=1∞是EΓ下的一列獨立隨機變量。定理0.6.4.(上集值概率下的強大數(shù)定律)設(shè){X_i}i=1∞是EΓ下的獨立隨機變量列,若對于某些α0,{EΓ[|X_i|1+α}i=1∞均為有界集,并且對于任意i≥1均有EΓ[X_i+]=EΔ[X1+],EΓ[X_i-]=EΓ[X1-],EΓ[X_i-]=EΓ[X1+],EΓ[X_i-]=EΓ[X1-]。則關(guān)于r幾乎處處成立。定義0.6.5.(上-下模糊集值概率)設(shè){μn}n=1∞為一列f-概率。u(·)=∪n=1∞μn(·)與u(·)=∩n=1∞μn(·)為分別定義在F到Fc([0,1])上的映射。如果滿足對于任意A ∈F,α∈(0,1],∪n=1∞ μnα(A)均為凸集并且∩n=1∞μnα(A)均為非空凸集,則稱(u,u)為一對上-下模糊集值概率(記為上-下f-概率)。定義0.6.6.(上-下模糊集值期望)設(shè)u(·)=∪n=1∞ μn(·)與u(·)=∩n=1∞ μn(·)分別為上f-概率與下f-概率,其中,{μn}n=1∞為一列f-概率。若對于任意α∈(0,1],均有La(∪n=1∞ Eμn[X])為閉集,則將隨機變量X的上-下模糊集值期望分別定義為模糊集∪n=1∞ Eμn[X](記為Eu[X])與∩n=1∞ Eμn[X](記為Eu[X]),即：其中,{Eμn[X]}n=1∞為模糊集并且對于任意α∈(0,1],均有Lα(Eμn[X])=Eμnα[X]。定義0.6.7.設(shè)X1,X2,…,X_n+1為上模糊集值概率空間(Ω,F,Eu)下的一列實值可測隨機變量。如果對于所有R上令{{Esuppu[φi(X_i)]}i=1n+1均為有界集的非負(fù)可測函數(shù)φi(·),均有則稱X_n+1在Eu下獨立于(X,,X2,…,X_n)。若對于任意n≥1均有X_n+1獨立于(X1,X2,…,X_n),則稱{X_n}n=1∞是Eu下的一列獨立隨機變量。定理0.6.8.(上模糊集值概率下的大數(shù)定律)設(shè){X_i}i=1∞為Eu下的獨立隨機變量列,存在某常數(shù)0β1,使得{Esuppu[|(X_i|1+β]}i=∞1均為有界集,并且對于任意i≥1,均有Eu[X_in]=Eu[X1+],Eu[X_i-]=Eu[X1-],Eu[X_i+]=Eu[X1+],Eu[X_i-]=Eu[X1-]。則,
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O211.4;F830

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1 戰(zhàn)英杰;φ-混合平穩(wěn)隨機變量列的平均移動過程的大偏差原理[D];吉林大學(xué);2006年

2 鄒廣玉;B值平穩(wěn)隨機變量列的平均移動過程的大偏差原理[D];吉林大學(xué);2007年

3 汪本旺;寬相依結(jié)構(gòu)隨機和尾概率的漸近性[D];蘇州大學(xué);2011年

4 叢玉華;關(guān)于NA隨機變量序列的疊對數(shù)律[D];吉林大學(xué);2006年

5 蘇在榮;隨機和分布的若干性質(zhì)[D];蘇州大學(xué);2010年

6 王張燕;幾類相依混合隨機變量列的大數(shù)律和L~r收斂性[D];杭州師范大學(xué);2010年

本文編號：1684933