本文選題：非線性方程組　切入點(diǎn)：錐模型　出處：《內(nèi)蒙古大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用,非線性方程組問題越來越受到人們的關(guān)注,非線性方程組的求解問題也成為活躍的研究課題.它在人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)、金融計(jì)算、防災(zāi)研究、能源探測(cè)以及氣象預(yù)報(bào)等各個(gè)鄰域有著廣泛的運(yùn)用.本文主要對(duì)求解非線性方程組的錐模型方法進(jìn)行研究.其中主要包括三類內(nèi)容,第一是求解光滑非線性方程組的一類改進(jìn)的錐模型牛頓法,第二是求解目標(biāo)函數(shù)具有特殊結(jié)構(gòu)的無約束優(yōu)化問題的結(jié)構(gòu)型擬牛頓法,第三是求解一類非光滑方程組的光滑型方法.所取得的主要結(jié)果有:1.分析了兩點(diǎn)有理逼近模型算法和錐模型算法的關(guān)系,闡明了兩點(diǎn)有理逼近模型算法是錐模型算法的特殊情形,由此對(duì)兩點(diǎn)有理逼近算法的改進(jìn)與完善提供了理論框架.2.提出了兩點(diǎn)有理逼近模型的若干改進(jìn)方法.首先,提出了更合理地篩選有理逼近解的方法并證明了該逼近的單調(diào)性.其次,對(duì)于原函數(shù)在當(dāng)前點(diǎn)與前次迭代點(diǎn)連線方向上的方向?qū)?shù)符號(hào)相反的情況,分別提出了迭代求有理逼近和構(gòu)造在當(dāng)前點(diǎn)與估算點(diǎn)連線方向上相應(yīng)的方向?qū)?shù)符號(hào)相同的近似有理逼近的方法.此外,提出了一個(gè)非單調(diào)的有理逼近函數(shù).最后,通過數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了本文提出的改進(jìn)方法是有效和可行的.3.提出了近似逼近向量值函數(shù)的一類特殊錐模型,基于此模型給出了求解非線性方程組的一種改進(jìn)的錐模型牛頓算法.該算法的主要特點(diǎn)是每一步迭代都利用一個(gè)秩一矩陣修正Jacobi矩陣.在一般條件下證明了算法具有局部二階收斂性.數(shù)值實(shí)驗(yàn)和對(duì)比表明了算法的有效性.4.提出了求解目標(biāo)函數(shù)具有特殊結(jié)構(gòu)的無約束優(yōu)化問題的結(jié)構(gòu)型錐擬牛頓算法.首先利用錐模型及其最近兩次迭代點(diǎn)上的插值條件推導(dǎo)出了錐擬牛頓方程.標(biāo)準(zhǔn)擬牛頓方程中僅僅使用目標(biāo)函數(shù)的梯度信息,而錐擬牛頓方程不僅利用目標(biāo)函數(shù)的梯度信息還要用到目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值信息.其次,基于錐擬牛頓方程提出了一類結(jié)構(gòu)型錐擬牛頓算法.并證明了算法的局部超線性收斂性.該算法適合求解目標(biāo)函數(shù)的Hesse矩陣有特殊結(jié)構(gòu)和部分可利用信息的無約束優(yōu)化問題,非線性最小二乘問題是該類問題的典型例子.5.提出了求解絕對(duì)值方程的一類光滑型算法,并比較了四個(gè)光滑化函數(shù)的數(shù)值表現(xiàn).絕對(duì)值方程問題是一類不可微的NP-hard問題.基于新給出的光滑化函數(shù),本文將絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化成等價(jià)的光滑方程組,并應(yīng)用相應(yīng)的光滑型算法求解此方程組.我們的主要貢獻(xiàn)在于數(shù)值實(shí)驗(yàn)和比較分析,通過數(shù)值比較不僅選出了四個(gè)光滑化函數(shù)中數(shù)值表現(xiàn)最好的函數(shù),還給出了四個(gè)函數(shù)在迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間方面的數(shù)值表現(xiàn)的排序.
[Abstract]:With the development of science and technology and the wide application of computer, people pay more and more attention to the problem of nonlinear equations, and the problem of solving nonlinear equations has become an active research topic.It is widely used in artificial intelligence, machine learning, financial computing, disaster prevention, energy detection and weather forecast.In this paper, the cone model method for solving nonlinear equations is studied.It mainly includes three kinds of contents: the first is an improved cone model Newton method for solving smooth nonlinear equations, the second is a structured quasi-Newton method for solving unconstrained optimization problems with special structure of objective function.The third is a smooth method for solving a class of nonsmooth equations.The main results achieved were: 1: 1.The relationship between two-point rational approximation model algorithm and cone model algorithm is analyzed. It is clarified that two-point rational approximation model algorithm is a special case of cone model algorithm, which provides a theoretical framework for the improvement and perfection of two-point rational approximation algorithm.Some improved methods of two-point rational approximation model are presented.Firstly, a more reasonable method for screening the solution of rational approximation is proposed and the monotonicity of the approximation is proved.Secondly, for the case where the original function has the opposite sign of directional derivative in the direction of the line line between the current point and the previous iteration point,In this paper, an iterative method for finding rational approximation and constructing approximate rational approximation with the same sign of directional derivative in the line direction of the current point and the estimated point are presented respectively.In addition, a nonmonotone rational approximation function is proposed.Finally, the numerical results show that the proposed improved method is effective and feasible.In this paper, a special cone model approximating vector-valued functions is proposed. Based on this model, an improved cone model Newton algorithm for solving nonlinear equations is presented.The main feature of the algorithm is that each iteration uses a rank one matrix to modify the Jacobi matrix.The local second order convergence of the algorithm is proved under general conditions.Numerical experiments and comparisons show that the algorithm is effective. 4.Firstly, the cone quasi Newton equation is derived by using the interpolation condition on the cone model and its two most recent iterations.The standard quasi Newton equation only uses the gradient information of the objective function, while the cone quasi Newton equation not only uses the gradient information of the objective function, but also uses the function value information of the objective function.Secondly, a class of structural cone quasi-Newton algorithm is proposed based on cone quasi-Newton equation.The local superlinear convergence of the algorithm is proved.This algorithm is suitable for solving unconstrained optimization problems with special structure and partially available information of Hesse matrix of objective function. The nonlinear least squares problem is a typical example of this kind of problem.A class of smoothing algorithms for solving absolute value equations are proposed, and the numerical representations of four smoothing functions are compared.The problem of absolute value equation is a kind of nondifferentiable NP-hard problem.Based on the new smoothing function, the absolute value equation is transformed into an equivalent smooth equation system, and the corresponding smoothing algorithm is used to solve the equations.Our main contribution lies in numerical experiments and comparative analysis. Through numerical comparison, we not only select the best numerical performance of the four smooth functions, but also give the ranking of the numerical performance of the four functions in terms of iteration number and computation time.
【學(xué)位授予單位】：內(nèi)蒙古大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O241.7

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本文編號(hào)：1684826