本文選題：邊界層　切入點：Oseen流　出處：《清華大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：在眾多科學(xué)與工程領(lǐng)域的數(shù)學(xué)物理問題中,會出現(xiàn)各類邊界層和內(nèi)層現(xiàn)象,例如不可壓流體中的粘性邊界層,可壓縮氣體動力學(xué)中的內(nèi)激波層,雙曲型方程的初始層等。這類問題的一個重要特點是,在一個很窄的區(qū)域內(nèi),問題解本身或者其空間/時間導(dǎo)數(shù)會變化很快。傳統(tǒng)的計算方法處理這類問題時其計算代價將極其昂貴。因此,人們往往需要結(jié)合其他技巧來設(shè)計更為有效的計算方法。本文將漸近分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)工具應(yīng)用到時空上具有邊界層/內(nèi)層現(xiàn)象的偏微分方程的數(shù)值求解,得到了具有一致收斂性的高效數(shù)值方法。對于空間上有邊界層和內(nèi)層現(xiàn)象的偏微分方程,本文研究了大Reynolds數(shù)的Oseen流問題,多介質(zhì)輻射擴散問題,以及源于玻色-愛因斯坦凝聚中的奇異攝動非線性特征值問題。Oseen流是不可壓Navier-Stokes流的線性近似,我們通過方程分解技巧和人工邊界方法將Oseen流問題轉(zhuǎn)化為一個等價的有界計算區(qū)域上的二階橢圓方程邊值問題,再利用量身定做有限點方法進行數(shù)值求解。數(shù)值結(jié)果表明我們的方法關(guān)于Reynolds數(shù)是穩(wěn)定的,且能在粗網(wǎng)格下捕捉到邊界層和內(nèi)層現(xiàn)象。非平衡輻射擴散方程組描述的是慣性約束聚變過程,我們提出了單調(diào)的量身定做有限點方法來進行數(shù)值求解。我們的方法具有保正性,數(shù)值結(jié)果表明我們的方法能夠在粗網(wǎng)格下捕捉到陡鋒的傳播,而且能夠推廣到間斷系數(shù)的情形。本文中的奇異攝動非線性特征值問題描述的是強相斥作用下的玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象,我們通過匹配漸近展開法給出了解在邊界層和內(nèi)層附近的漸近展開形式,結(jié)合歸一化的梯度流方法,我們提出了雜交的自適應(yīng)有限元方法,其中基函數(shù)的選取是基于網(wǎng)格剖分形式和解的漸近展開信息的。對于更簡單的奇異攝動兩點邊值問題,可以嚴(yán)格證明我們的方法是一致收斂的。對于時間上有初始層現(xiàn)象的偏微分方程,本文研究了奇異攝動的KuramotoSivashinsky方程。該波動方程描述的是二維自由界面問題中火焰鋒面的傳播情況,在奇異攝動情形,該方程的解具有時間多尺度信息,具體來說,該方程的解除了會漸近收斂到Kuramoto-Sivashinsky方程的解外,還會有一個額外的初始層,這會導(dǎo)致解關(guān)于時間的二階(或更高階)導(dǎo)數(shù)會很大。我們分別提出了隱顯Fourier譜方法和指數(shù)波動積分因子Fourier譜方法,并嚴(yán)格證明了它們的一致收斂性。特別地,后者在好初值情形時關(guān)于時間是一致且最優(yōu)的二階收斂的。
[Abstract]:Among the mathematical and physical problems in many fields of science and engineering, there are various boundary layer and inner layer phenomena, such as viscous boundary layer in incompressible fluid, internal shock layer in compressible gas dynamics. The initial layer of the hyperbolic equation, etc. An important feature of such problems is that in a very narrow region, The solution itself or its space / time derivative will change very quickly. When the traditional method of calculation is used to deal with this kind of problem, its computational cost will be extremely high. In this paper, the asymptotic analysis and other mathematical tools are applied to the numerical solution of partial differential equations with boundary layer / inner layer phenomenon. An efficient numerical method with uniform convergence is obtained. For the partial differential equations with boundary layer and inner layer phenomena in space, the Oseen flow problem with large Reynolds number and the radiation diffusion problem in multi-medium are studied in this paper. And the singularly perturbed nonlinear eigenvalue problem derived from Bose-Einstein condensates. The Oseen flow is a linear approximation of the incompressible Navier-Stokes flow. We transform the Oseen flow problem into an equivalent boundary value problem of the second order elliptic equation on a bounded computational domain by using the technique of equation decomposition and artificial boundary method. The numerical results show that our method is stable for Reynolds number. The phenomenon of boundary layer and inner layer can be captured in coarse grid. The nonequilibrium radiation diffusion equations describe the process of inertial confinement fusion. We propose a monotone tailor-made finite point method for numerical solution. The numerical results show that our method can capture the propagation of steep-front in rough mesh. The singularly perturbed nonlinear eigenvalue problem in this paper describes the Bose-Einstein condensation phenomenon under strong exclusion. By using the matching asymptotic expansion method, we give the asymptotic expansion form of the solution near the boundary layer and the inner layer. In combination with the normalized gradient flow method, we propose a hybrid adaptive finite element method. The selection of the basis function is based on the asymptotic expansion information of the mesh partition form and the solution. For a simpler singularly perturbed two-point boundary value problem, It can be proved strictly that our method is uniformly convergent. In this paper, the KuramotoSivashinsky equation of singularly perturbed is studied. The wave equation describes the propagation of flame front in the two-dimensional free interface problem. In the case of singularly perturbed, the solution of the equation has time and multi-scale information. The solution of the equation will converge asymptotically to the solution of the Kuramoto-Sivashinsky equation, and there will be an additional initial layer. This will result in a large second (or higher) derivative of the solution for time. We present the implicit Fourier spectral method and the exponential wave integral factor Fourier spectral method, respectively, and strictly prove their uniform convergence. In the case of good initial value, the latter is the second order convergent with respect to time consistency and optimization.
【學(xué)位授予單位】：清華大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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本文編號：1682667