本文選題：解析解　切入點：有限差分算法　出處：《山東大學》2017年博士論文

【摘要】：近幾十年來,分數(shù)階微積分理論成功應用于工程科學的各個領域,比如電磁學、流體力學、粘彈性、反常擴散和信號處理,呈現(xiàn)出欣欣向榮之勢。這表明分數(shù)階微積分理論具有獨特的優(yōu)勢,體現(xiàn)了其不可替代性,關于這方面的理論和應用研究已成為一個國際熱點問題。相比較經典的整數(shù)階微分算子,由于分數(shù)階微分算子具有全局相關性或非局部的特性,故更適合于描述具有記憶性和遺傳特性材料的復雜力學行為。本文主要介紹分數(shù)階微積分理論在粘彈性材料、流體力學、生物組織傳熱和激光加熱中的應用。為了更好的分析這些反�，F(xiàn)象,通過合適的參數(shù)估計方法獲得了模型中未知參數(shù)的最優(yōu)估計結果。首先,利用由分數(shù)元組成的分數(shù)階本構關系模型:分數(shù)元模型,分數(shù)階Maxwell模型,分數(shù)階Kelvin-Voigt模型和分數(shù)階Poynting-Thomson模型,描述粘彈性材料的時間依賴蠕變行為。借助于聚合物和巖石的三組蠕變實驗數(shù)據(jù)對比這些分數(shù)階本構關系模型的有效性,并通過內點算法求得這些模型參數(shù)的最優(yōu)估計結果,借助圖形將三組材料的蠕變數(shù)據(jù)與計算所得結果進行對比,分析表明分數(shù)階Poynting-Thomson模型在描述材料的蠕變行為時是最優(yōu)的。其次,考慮到空間分數(shù)階微分算子可以準確的描述反常力學行為的路徑依賴、長程相關等特性,故將流體力學中的經典Navier-Stokes方程中拉普拉斯算子替換為Riesz分數(shù)階微分算子,得到空間分數(shù)階Navier-Stokes方程。借助分數(shù)階微分方程的有限差分算法研究兩平行平板之間的壓力驅動流動,分析模型參數(shù)對流體流動的影響;并運用Levenberg-M arquardt算法獲得模型中未知參數(shù)的最優(yōu)估計值。結果顯示,兩個模型參數(shù)對速度場均有較強的影響,且Levenberg-Marquardt方法在空間分數(shù)階微分方程反問題的研究中是有效的。再次,基于生物組織建立分數(shù)階雙相延遲模型和相應的生物傳熱方程,以此解釋預處理肉中的傳熱現(xiàn)象。借助于傅里葉變換和拉普拉斯變換獲得由H函數(shù)表示的解析解。模型中的兩個松弛時間和分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)均由非線性最小二乘法獲得最優(yōu)估計值。通過圖形對比測量溫度和計算所得溫度,得到較好的擬合效果,并詳細分析了模型參數(shù)的影響。最后,基于分數(shù)階Taylor級數(shù)和Tzon提出的雙相延遲模型,建立分數(shù)階雙相延遲熱傳導模型;針對短脈沖激光加熱半無窮介質問題建立分數(shù)階雙相延遲熱傳導方程,利用拉普拉斯變換給出問題的半解析解,并利用數(shù)值求逆拉普拉斯變換的方法深入剖析了短脈沖激光加熱的熱傳輸過程。具體來講:第一章,主要介紹分數(shù)階微積分的發(fā)展歷史,本文要研究的主要問題以及可能用到的一些預備知識。第二章,基于分數(shù)階本構關系模型研究粘彈性材料的時間依賴蠕變行為�；诜謹�(shù)階微積分的粘彈性材料本構關系模型不僅具有擬合實驗數(shù)據(jù)好、使用參數(shù)少的優(yōu)點,而且可以合理地描述具有記憶和時間依賴的物理現(xiàn)象,故研究人員在粘彈性材料本構模型的研究中開始采用分數(shù)階微積分理論。本章借助于分數(shù)階本構關系模型:分數(shù)元模型,分數(shù)階Maxwell模型,分數(shù)階Kelvin-Voigt模型和分數(shù)階Poynting-Thomson模型研究粘彈性材料(聚合物和巖石)的蠕變行為,這些模型的蠕變函數(shù)分別為(?)(?)(?)(?)這里Ep,q(z)是Mittag-Leffler函數(shù)。通過包括HDPE,PEEK和巖石在內的三組蠕變實驗數(shù)據(jù)說明分數(shù)階粘彈性模型的有效性,并分析了所得擬合結果。結果顯示,分數(shù)階Poynting-Thomsom模型的擬合效果是本章涉及的分數(shù)階微分模型中最好的,其可以很好的抓住粘彈性固體短時和長時的蠕變行為。模型參數(shù)的識別是分數(shù)階微分模型研究中的一個重要問題,本章將采用內點算法估計了未知的模型參數(shù),得到未知參數(shù)的最優(yōu)估計值。內點算法對于解決分數(shù)階微分模型參數(shù)估計的反問題是可行的。第三章,主要研究空間分數(shù)階Navier-Stokes方程,并用分數(shù)階微分方程有限差分的方法獲得兩平行平板之間壓力驅動流動的速度分布。將Navier-Stokes方程中的拉普拉斯算子替換為Riesz分數(shù)階微分算子,可得以下形式的空間分數(shù)階Navier-Stokes方程(?)(?)以上述方程為運動方程,考慮垂直距離是L的兩平行平板之間流體的不定常壓力驅動流動,其初邊值條件分別為u(y,0)= 0,0yL,(6)u(0,t)= u(L，，t)= 0,t0.(7)借助于有限差分的方法獲得此問題在常壓力梯度驅動下的速度分布,探討分數(shù)階導數(shù)和廣義雷諾數(shù)對不定常粘性流動的影響,結果顯示兩個模型參數(shù)對兩平行平板之間的流動均有較大影響。為了更好的分析兩平行平板之間的壓力驅動流動的特性,探討兩個模型參數(shù)的估計問題,并利用Levenberg-Marquardt(L-M)方法估計了分數(shù)階導數(shù)和廣義雷諾數(shù),結果表明用Levenberg-Marquardt方法解決空間分數(shù)階微分方程中的反問題是有效的。第四章,主要研究時間分數(shù)階雙相延遲模型及其在生物組織傳熱中的應用。首先基于經典傅里葉定律提出以下生物組織傳熱中的時間分數(shù)階雙相延遲模型(?)其中0α,β1,分數(shù)階微分為Caputo型分數(shù)階微分。生物組織熱傳導通常采用以下Pennes'方程(?)其中Q(r,t)=ωbCb(Tα-T(r,t))+qm+qr,ρ,c和T分別是生物組織的密度,比熱和溫度;cb是血液的比熱,ωb是血液灌注率;Ta是動脈血的溫度;qm是生物組織的新陳代謝產生的熱量,qr是空間熱源項。方程(8)和(9)聯(lián)立可得帶有兩個分數(shù)階參數(shù)α和β的生物傳熱方程,其中包括體現(xiàn)生物組織內在熱性能的松弛時間τq和延遲時間τT�；贛itra等的實驗,提出以下初邊值條件:(?)(?)(?)并借助于積分變換和H函數(shù),得到了以上初邊值條件下分數(shù)階雙相延遲熱傳導方程的精確解。進一步用非線性最小二乘的方法預測了 Mitra等給出的實驗Ⅰ和Ⅲ的溫度,結果顯示分數(shù)階雙相延遲模型能較好地吻合測量數(shù)據(jù)且能很好的抓住溫度快速上升的趨勢。對比熱波模型和雙相延遲模型,分數(shù)階雙相延遲模型的L2誤差最小。這說明分數(shù)階雙相延遲模型有助于提升對生物組織中熱傳導現(xiàn)象的認識。第五章,主要研究短脈沖激光加熱一個半無窮介質。以時間分數(shù)階雙相延遲模型(?)為熱傳導模型,建立相應的包含體積熱源項的分數(shù)階熱傳導方程(?)這里g(x,t)=(1-rf)I0δf(t)e-δx.氣考慮初邊值條件(?)(?)(?)(?)T(x,t)= T0,x→,t0,(16)下定解問題的解,通過拉普拉斯變換的方法得到了溫度分布的半解析解。最后,利用數(shù)值逆拉普拉斯變換的方法數(shù)值剖析了分數(shù)階階數(shù)和延遲時間對溫度分布產生的影響。第六章,給出本文的總結和未來可能的研究方向。
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【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O241.8

【參考文獻】

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本文編號：1664221