本文選題：奇異攝動　切入點：脈沖微分方程　出處：《華東師范大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：本文針對幾類非光滑動力系統(tǒng)進行了研究.主要包括：一類脈沖微分方程的多尺度研究；幾類非光滑奇攝動方程的空間對照結(jié)構(gòu)的研究.本文的主要內(nèi)容分為以下幾章.第一章為緒論.主要回顧了奇攝動問題和非光滑動力系統(tǒng)的歷史背景和發(fā)展過程,引入了與本文研究內(nèi)容相關(guān)的一些概念和定理,同時也介紹了本文的工作及創(chuàng)新之處.第二、三章對一類脈沖微分方程進行多尺度的研究.脈沖微分方程充分考慮到瞬時突變對狀態(tài)的影響,其解往往是分段連續(xù)的,解的這種特性給脈沖微分方程的研究帶來了困難與不便.為此,利用奇攝動的思想,通過引入適當(dāng)?shù)钠鏀z動項,這兩章分別將原脈沖微分方程擴充成具有無窮大初值的奇攝動問題和臨界奇攝動邊值問題,構(gòu)造了相應(yīng)奇攝動問題的連續(xù)/光滑的多尺度漸近解來有效地刻畫原脈沖微分方程的不連續(xù)解,同時也論證了漸近解的一致有效性,從而為脈沖微分方程的研究提供了一種新的途徑.第四章研究了非光滑的二階半線性奇攝動方程的空間對照結(jié)構(gòu).在區(qū)間內(nèi)的某點t處改變方程的右端函數(shù),從而導(dǎo)致了附加方程平衡點類型的變化,使得左區(qū)間可能出現(xiàn)脈沖狀的空間對照結(jié)構(gòu)解,右區(qū)間可能出現(xiàn)階梯狀的空間對照結(jié)構(gòu)解.通過相平面,分析了整個區(qū)間上解存在的可能類型.利用邊界層函數(shù)法,構(gòu)造出左區(qū)間脈沖狀解和右區(qū)間階梯狀解的漸近表達式,同時也確定產(chǎn)生脈沖狀解和階梯狀解的點的漸近表達式.而在t點處：運用縫接法,對解進行光滑縫接.最后證明了整個區(qū)間上解的存在性和漸近解的一致有效性.第五章研究了帶慢變量的非光滑擬線性奇攝動方程組的空間對照結(jié)構(gòu).利用邊界層函數(shù)法構(gòu)造了該問題的形式漸近解,用縫接法對解軌道進行光滑縫接,在整個區(qū)間上證明了形式漸近解的存在性和一致有效性.第六章研究了具有快慢層的非光滑奇攝動方程的空間對照結(jié)構(gòu).不同于前面的奇攝動方程的邊界層具有相同的類型(尺度變化一樣),本章所考慮的奇攝動方程的邊界層具有不同的類型,即出現(xiàn)快慢層.主要包括：快慢層出現(xiàn)在不同端點處和快慢層出現(xiàn)在同端點處.在快慢層處,通過引入不同的尺度變化,分不同區(qū)間構(gòu)造了問題的形式漸近解.在整個區(qū)間上,利用縫接法,得到了解的存在性和漸近表達式,同時也論證了漸近解的一致有效性并進行了余項估計.最后,總結(jié)本文的工作,并提出下一步的研究計劃.
[Abstract]:In this paper, several kinds of nonsmooth dynamical systems are studied, including: the multi-scale study of a class of impulsive differential equations; The main contents of this paper are divided into the following chapters. The first chapter is an introduction. The historical background and development process of singularly perturbed problems and nonsmooth dynamical systems are reviewed. Some concepts and theorems related to the contents of this paper are introduced, and the work and innovations of this paper are also introduced. In chapter three, we study a class of impulsive differential equations with multiple scales. The impulsive differential equations take into full account the influence of transient mutations on the state, and their solutions are usually piecewise continuous. This characteristic of solution brings difficulties and inconvenience to the study of impulsive differential equations. Therefore, by introducing proper singularly perturbed terms, using the idea of singularly perturbed, In these two chapters, the original impulsive differential equations are extended to singular perturbation problems with infinite initial values and critical singularly perturbed boundary value problems, respectively. The continuous / smooth multi-scale asymptotic solutions of the corresponding singularly perturbed problems are constructed to characterize the discontinuous solutions of the original impulsive differential equations effectively, and the uniform validity of the asymptotic solutions is also proved. In chapter 4th, the spatially controlled structure of nonsmooth second order semilinear singularly perturbed equations is studied. At some point in the interval, the function of the right end of the equation is changed. This result in the change of equilibrium point type of the additional equation, which makes it possible for the left interval to have a pulse-shaped spatial contrast structure solution, and the right interval for a step space control structure solution. The possible types of solutions on the whole interval are analyzed. By using the boundary layer function method, the asymptotic expressions of the left interval impulsive solutions and the right interval step solutions are constructed. The asymptotic expressions of the points that generate the impulsive solution and the step solution are also determined. The existence of solutions over the whole interval and the uniform validity of asymptotic solutions are proved. In Chapter 5th, the spatially controlled structures of nonsmooth quasilinear singularly perturbed equations with slow variables are studied. The formal asymptotic solution of the problem is constructed by the layer function method. The slit method is used to smooth the slit of the solution track. The existence and uniform validity of formal asymptotic solutions are proved in the whole interval. In chapter 6th, we study the spatially controlled structure of the nonsmooth singularly perturbed equation with fast and slow layers. The boundary layer of the singular perturbation equation is different from that of the previous singularly perturbed equation. The boundary layer of the singularly perturbed equation considered in this chapter has different types. That is, the fast and slow layers appear at different endpoints and the fast and slow layers appear at the same endpoints. At the fast and slow layers, by introducing different scale changes, the asymptotic solutions of the problem are constructed in different intervals. The existence and asymptotic expression of the solution are obtained by using the slit method, and the uniform validity of the asymptotic solution is also proved and the remainder estimates are given. Finally, the work of this paper is summarized and the next research plan is put forward.
【學(xué)位授予單位】：華東師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O19

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本文編號：1640276