本文選題：同(異)宿環(huán)　切入點(diǎn)：周期解　出處：《華中科技大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：本篇論文主要研究兩個(gè)方面的問題,第一方面是針對分段仿射系統(tǒng)的同(異)宿軌道的存在性及其誘導(dǎo)的分岔和混沌現(xiàn)象的定性研究。分段光滑系統(tǒng)有很強(qiáng)的應(yīng)用背景,得到越來越多學(xué)者的重視,但是分段光滑系統(tǒng)的理論體系還不完善,如高維分段光滑系統(tǒng)同(異)宿軌道存在的條件、周期解存在的條件、混沌現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)理等,因此本文的第一部分將致力于這些基本問題的研究。本文的第二方面將研究連續(xù)時(shí)間自治系統(tǒng)的一些復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象：主要是利用理論和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的方法,研究一致雙曲混沌不變集和“胖分形”這兩類復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為在三維自治系統(tǒng)中的存在性及其驗(yàn)證方法。一致雙曲混沌不變集在微分同胚中常常被發(fā)現(xiàn),比如Smale馬蹄、Anosov環(huán)面同構(gòu)等,而“胖分形”這一有趣的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象也能在一些保守微分同胚映射中出現(xiàn),比如‘'Chirikov-Taylor標(biāo)準(zhǔn)映射”等,但是針對三維自治常微分方程,這兩種動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象卻極少被發(fā)現(xiàn),本文的第二部分將致力于這兩類動(dòng)力學(xué)行為在自治常微分方程中的尋找和驗(yàn)證。本論文的結(jié)果如下：(1)針對含至少一個(gè)鞍點(diǎn)的三維分段仿射系統(tǒng),利用平面線性系統(tǒng)軌線與定直線之間的位置關(guān)系以及鞍點(diǎn)的穩(wěn)定流形、不穩(wěn)定流形與切換流形之間的空間位置關(guān)系,給出該系統(tǒng)同宿軌道存在性的一個(gè)簡潔的向量式的充分必要條件。同時(shí)針對含一條同宿軌的分段仿射系統(tǒng),研究了同宿分叉現(xiàn)象,給出分岔出周期解的特征值條件,并給出周期解為匯、源、或鞍型的充分條件,從而將Wiggins關(guān)于光滑系統(tǒng)同宿分岔的部分結(jié)論推廣到分段光滑系統(tǒng)中,且得到了一些不盡相同的結(jié)果。(2)研究了一類含兩個(gè)容許鞍點(diǎn)的分段仿射系統(tǒng)三種類型異宿環(huán)和混沌不變集的存在性。利用平面線性系統(tǒng)軌線與定直線之間的位置關(guān)系給出了該分段仿射系統(tǒng)的三類異宿軌道存在的充分條件及其解析證明。進(jìn)一步,將異宿環(huán)的存在性結(jié)果與Shil' nikov混沌理論相結(jié)合,分別給出了兩類不同的分段仿射系統(tǒng)擁有無窮混沌不變集的充分條件,并利用拓?fù)漶R蹄理論給出了混沌不變集存在的解析證明。本部分的部分結(jié)果可看成是Shil' nikov的混沌理論在分段光滑系統(tǒng)上的推廣。(3)針對生態(tài)學(xué)中經(jīng)典的HP-模型(該模型由Hastings和Powell在1991年根據(jù)實(shí)際提出),綜合利用拓?fù)漶R蹄理論和Conley-Morse條件,并結(jié)合數(shù)值計(jì)算,研究該模型的混沌不變集的存在性及其一致雙曲性,并最終獲得該系統(tǒng)存在一個(gè)一致雙曲的混沌不變集。從而為三維自治系統(tǒng)存在一致雙曲混沌不變集提供了一個(gè)實(shí)例。根據(jù)Conley-Morse條件設(shè)計(jì)的驗(yàn)證不變集雙曲性的計(jì)算方法可推廣到其它模型中。(4)研究了Nose-Hoover振子的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,該振子的行為方程為三維二次多項(xiàng)式自治系統(tǒng)。通過數(shù)值計(jì)算并結(jié)合動(dòng)力系統(tǒng)理論和扭結(jié)理論,許多均值保守區(qū)域被發(fā)現(xiàn),這些區(qū)域被各種各樣扭結(jié)型的不變環(huán)面充滿,來自于不同保守區(qū)域的不變環(huán)面相互纏繞在一起并嵌入在混沌海洋中。研究結(jié)果表明該振子擁有“胖分形”動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)。據(jù)作者所知,在非哈密頓系統(tǒng),尤其是三維自治系統(tǒng)中,這種“胖分形”結(jié)構(gòu)是極為少見的。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：1602310