本文選題：定態(tài)薛定諤方程　切入點(diǎn)：動力學(xué)非線性薛定諤方程　出處：《南京師范大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：薛定諤方程是量子物理中的基本方程,它不僅在物理領(lǐng)域有很多應(yīng)用,而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也備受關(guān)注。帶分布勢如δ(x)、δ'(x)及其線性組合的薛定諤方程,是描述玻色或費(fèi)米氣體的一類重要模型,也可以用來模擬半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)構(gòu)或奇異外勢作用下超冷稀薄原子氣體的凝聚問題,等等。本文主要研究含這類分布勢的定態(tài)和動力學(xué)薛定諤方程的數(shù)值方法,主要成果如下：第一部分集中在含分布勢定態(tài)薛定諤方程束縛態(tài)問題的界面方法研究。首先,我們考慮含單δ(x)或?qū)ΨQ雙δ(x)勢阱的薛定諤方程,利用顯式跳躍浸入界面方法和Peskin浸入邊界方法對方程進(jìn)行離散,得到了相應(yīng)的廣義和標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)特征值問題,并證明了前者可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)特征值問題。進(jìn)而,利用帶位移的反冪法和QR方法,對原方程束縛態(tài)問題進(jìn)行了多方面的數(shù)值研究。其次,對于含-αδ(x)+bδ'(x)勢且在原點(diǎn)帶質(zhì)量跳躍的薛定諤方程,我們分別考察了其浸入界面方法和顯式跳躍浸入界面方法離散,得到了相應(yīng)的廣義和標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)特征值問題,并針對這些離散問題的適定性與求解等方面給出了相關(guān)的理論分析。由顯式跳躍浸入界面方法離散得到的標(biāo)準(zhǔn)特征值問題,可以用標(biāo)準(zhǔn)方法進(jìn)行求解。然而,由浸入界面方法得到的是一個“隱式”代數(shù)特征值問題,我們設(shè)計了相容的不動點(diǎn)迭代與帶位移的反冪法相結(jié)合的算法,實(shí)現(xiàn)了相關(guān)束縛態(tài)能級與波函數(shù)的數(shù)值計算。理論和數(shù)值研究表明,對于這兩類薛定諤方程束縛態(tài)特征值問題,Peskin的浸入邊界方法、顯式跳躍浸入界面方法和浸入界面方法都是有效的、穩(wěn)定的以及收斂的,且對于能級的計算精度可以達(dá)到方法的精度。第二部分針對凝聚態(tài)物理中一個重要模型即含δ(x)勢場的動力學(xué)非線性薛定諤方程,研究其多辛幾何結(jié)構(gòu)以及相關(guān)的多辛幾何算法。由于Delta外勢的出現(xiàn),此方程不能像無外勢那樣寫成多辛哈密爾頓系統(tǒng)。通過一些泛函設(shè)定,我們提出了此模型的“弱”多辛哈密爾頓形式描述,并從理論上研究了相關(guān)“弱”意義下的一些局部和整體守恒律。我們指出,由于空間平移不變性被打破,此系統(tǒng)的動量不再守恒。進(jìn)而,我們構(gòu)造了新的Runge-Kutta和Runge-Kutta-Nystrom方法,討論了它們的離散多辛性,并證明了這些多辛幾何算法嚴(yán)格保持原系統(tǒng)的歸一化守恒律。為了數(shù)值比較,我們還利用界面方法構(gòu)造了非多辛離散格式的數(shù)值算例。這些數(shù)值研究表明,多辛幾何算法的優(yōu)勢在于對歸一化守恒律的精確保持,并且界面點(diǎn)是否落在等分節(jié)點(diǎn)上對計算結(jié)果影響不大。對于能量守恒律,多辛Runge-Kutta-Nystrom算法的保持精度遠(yuǎn)高于非多辛算法。不管是多辛算法還是非多辛算法,可以將能量、宇稱等諸多守恒性質(zhì)在一定精度下長時間穩(wěn)定保持。
[Abstract]:Schrodinger equation is a basic equation in quantum physics. It has many applications in the field of physics and has attracted much attention in the field of mathematics. It is an important model for describing Boson or Fermi gas. It can also be used to simulate the condensation of ultra-cold rarefied atomic gas under the action of semiconductor heterostructure or singular external potential. The main results are as follows: the first part focuses on the interfacial method for the bound state problem of the stationary Schrodinger equation with the distributed potential. In this paper, we consider the Schrodinger equation with single 未 X) or symmetric double 未 X) potential well. The explicit jump immersion interface method and Peskin immersion boundary method are used to discretize the equation, and the corresponding generalized and standard algebraic eigenvalue problems are obtained. It is proved that the former can be transformed into a standard algebraic eigenvalue problem. Furthermore, by using the inverse power method with displacement and the QR method, the bound state problem of the original equation is numerically studied in many aspects. For the Schrodinger equation with a potential of-偽 未 X) and a mass jump at the origin, we investigate the discretization of the immersion interface method and the explicit jump immersion interface method, and obtain the corresponding generalized and standard algebraic eigenvalue problems. The relevant theoretical analysis on the suitability and solution of these discrete problems is given. The standard eigenvalue problems obtained from the discrete method of explicit jump immersion interface can be solved by the standard method. An implicit algebraic eigenvalue problem is obtained from the immersion interface method. We design a consistent fixed point iteration algorithm combined with the inverse power method with displacement. The theoretical and numerical studies show that Peskin's immersion boundary method is used to solve the eigenvalue problems of the bound states of the Schrodinger equation. The explicit jump immersion method and the immersion interface method are both effective, stable and convergent. In the second part, an important model in condensed matter physics, that is, the dynamical nonlinear Schrodinger equation with 未 X) potential field, can be obtained. The multi-symplectic geometry structure and the related multi-symplectic geometry algorithm are studied. Because of the appearance of Delta external potential, the equation can not be written as a multi-symplectic Hamiltonian system like no external potential. In this paper, we present a "weak" multi-symplectic Hamiltonian formal description of the model, and theoretically study some local and global conservation laws in the sense of "weak". We point out that the spatial translation invariance is broken. The momentum of the system is no longer conserved. Furthermore, we construct new Runge-Kutta and Runge-Kutta-Nystrom methods, discuss their discrete multi-symplectic properties, and prove that these multi-symplectic geometric algorithms strictly maintain the normalized conservation laws of the original system. Numerical examples of non-polysymplectic discrete schemes are also constructed by using the interface method. These numerical studies show that the advantages of multi-symplectic geometric algorithms lie in the exact preservation of normalized conservation laws. For energy conservation law, the accuracy of multi-symplectic Runge-Kutta-Nystrom algorithm is much higher than that of non-polysymplectic algorithm. Whether it is multi-symplectic algorithm or non-polysymplectic algorithm, the energy can be obtained by multi-symplectic algorithm or non-polysymplectic algorithm. Many conservation properties such as parity are kept stable for a long time under certain precision.
【學(xué)位授予單位】：南京師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.8

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本文編號：1593605