本文選題：參數(shù)反演問題　切入點(diǎn)：正則化方法　出處：《浙江大學(xué)》2015年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：微分方程反問題在自然科學(xué)與工程技術(shù)諸多領(lǐng)域之中有著廣泛應(yīng)用。其一個(gè)突出的特征就是不適定性,這使得反問題的求解比正問題困難的多。因而反問題的求解算法是科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域的重要研究方向。微分方程的參數(shù)反演問題是反問題的重要分支之一。本文詳細(xì)介紹了橢圓型微分方程參數(shù)反演問題的基本理論、各方面應(yīng)用以及其數(shù)值算法。解偏微分方程參數(shù)反演問題,通常做法是構(gòu)造相應(yīng)的最小二乘泛函,求得其極小化問題的解。以橢圓型方程Robin系數(shù)反演問題的數(shù)值解法為例進(jìn)行研究,我們得到了以下創(chuàng)新性的成果：一、對于分片常數(shù)型Robin系數(shù)的反演問題,我們提出直接反演Robin參數(shù)間斷點(diǎn),以重構(gòu)Robin系數(shù)的方法(下文稱為間斷點(diǎn)重構(gòu)法)。我們引入相應(yīng)的最小二乘泛函,給出了方程解及目標(biāo)泛函關(guān)于間斷點(diǎn)一階和二階Frechet導(dǎo)數(shù)所滿足的方程,從而應(yīng)用Gauss-Newton方法求解泛函極小點(diǎn),得到各間斷點(diǎn)的位置,較準(zhǔn)確的重構(gòu)Robin系數(shù)。二、對于一般的情況,我們提出復(fù)、實(shí)邊界條件耦合方法。在可接觸邊界上,構(gòu)造新的Robin邊界條件,將Neumann和Dirichlet型邊界測量值耦合,從而構(gòu)造新的邊值問題及相應(yīng)的最小二乘數(shù)據(jù)擬合項(xiàng),求解相應(yīng)的泛函優(yōu)化問題,以重構(gòu)Robin系數(shù)。對于復(fù)邊界條件耦合法,我們構(gòu)造一個(gè)復(fù)空間上的邊值問題,通過極小化復(fù)邊值問題解的虛部模,得到穩(wěn)定的數(shù)值反演結(jié)果。對于實(shí)邊界條件耦合法,我們構(gòu)造依賴于不同正參數(shù)α1和α2的兩個(gè)邊值問題,通過極小化相應(yīng)的Kohn-Vogelius型最小二乘泛函,重構(gòu)Robin系數(shù)。該方法對正則化參數(shù)選取的依賴程度小,對于非常小的正則化參數(shù),也可得到滿意的結(jié)果。
[Abstract]:Inverse problems of differential equations are widely used in many fields of natural science and engineering technology. Therefore, inverse problem solving algorithm is an important research direction in the field of scientific computation. Parameter inversion problem of differential equation is one of the important branches of inverse problem. The basic theory of parameter inversion for elliptic differential equations is introduced. The parameter inversion problem for solving partial differential equations is usually done by constructing the corresponding least square functional. Taking the numerical solution of the Robin coefficient inversion problem for elliptic equations as an example, we have obtained the following innovative results: first, for the piecewise constant Robin coefficient inversion problem, We propose a direct inversion of the discontinuity points of Robin parameters to reconstruct the Robin coefficients (hereafter called the discontinuous point reconstruction method). The solution of the equation and the equation of the first and second order Frechet derivatives of the discontinuous point are given. The Gauss-Newton method is used to solve the minimal point of the functional, the position of the discontinuous point is obtained, and the Robin coefficient is reconstructed more accurately. We propose a complex and real boundary condition coupling method. A new Robin boundary condition is constructed on the reachable boundary, and the Neumann and Dirichlet boundary measurements are coupled to construct a new boundary value problem and the corresponding least-squares data fitting term. For the complex boundary condition coupling method, we construct a boundary value problem in complex space by minimizing the imaginary modulus of the solution of the complex boundary value problem. For the real boundary condition coupling method, we construct two boundary value problems dependent on different positive parameters 偽 1 and 偽 2, and minimize the corresponding Kohn-Vogelius type least squares functional. The method has less dependence on the selection of regularization parameters, and satisfactory results can be obtained for very small regularization parameters.
【學(xué)位授予單位】：浙江大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.2

【共引文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：1583626