本文關(guān)鍵詞：非線性微分方程的旋轉(zhuǎn)周期解，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：自從19世紀末,H.Poincare在他關(guān)于三體問題的研究中提出周期解的概念并建立了微分方程定性理論以來,周期解的相關(guān)理論一直是定性理論研究中的核心課題之一.在周期解的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的概周期、幾乎自守等概念很好的描述了各類在時間上近似周期的自然現(xiàn)象,但并非所有的自然現(xiàn)象都能用單純的周期性來描述.事實上,有一些系統(tǒng)的模型不僅僅具有時間上的周期性,還在某些方面具有對稱性.Y.Li等人在對這類系統(tǒng)的研究中提出了一種新的周期性模型,并將其命名為仿射周期性,將具有仿射周期性的系統(tǒng)稱為仿射周期系統(tǒng)[41,54,55,61].本篇博士論文便以一類特殊的仿射周期系統(tǒng)一旋轉(zhuǎn)周期系統(tǒng)為對象,討論了非線性微分方程的旋轉(zhuǎn)周期解的存在性問題.在第二章中,我們討論了連續(xù)時間上的一個(Q,T)-旋轉(zhuǎn)周期系統(tǒng)x'=f(t,x), (0.0.1)以及(0.0.1)的輔助系統(tǒng)x'=λf(t,x), (0.0.2)其中f(t,x):R1×Rn→Rn是一個連續(xù)函數(shù)并保證方程的解對于初值具有唯一性,Q∈O(n),λ∈[0,1]在2.2節(jié)中,我們給出了一個系統(tǒng)(0.0.1)的旋轉(zhuǎn)周期解的存在性定理,其具體內(nèi)容如下：定理0.0.1設(shè)D為Rn中的一個有界開集.針對方程(0.0.2),我們做如下假設(shè):(H1)：對于任意的λ∈(0,1],方程(0.0.2)的每一個可能的旋轉(zhuǎn)周期解x(t)都滿足x(t)(?)aD (?)t；(H2):當(dāng)Ker(I-Q)≠{0}時,Briouwer度deg(g,D∩Ker(I-Q),0)≠0,其中P:Rn→Ker(I-Q)是一個正投影.如果對于方程(0.0.2),(H1)和(H2)始終成立,則方程(0.0.1)至少有一個(Q,T)-旋轉(zhuǎn)周期解x*(t),且對于任意的t∈R1,都有x*(t)∈D.利用拓撲度理論,我們在2.2節(jié)對定理0201進行了證明.這個定理提供了一種在理論上研究旋轉(zhuǎn)周期解的存在性的拓撲方法.為了能在實際應(yīng)用中更加直接的判斷旋轉(zhuǎn)周期解的存在性,我們在2.3節(jié)中利用定理0.0.1證明了兩個基于Lyapunov函數(shù)方法的結(jié)果,其具體內(nèi)容如下：推論0.0.2對于方程(0.0.1),假設(shè)存在一族C1函數(shù)Vi(x),i=0,1,…,m以及一個正常數(shù)σ,使得如下所述的假設(shè)(H3)、(H4)和(H5)始終成立.(H3):對于足夠大的Mi,我們有|▽Vi(x),f(t,x)|≥σ0 (?)|x|≥Mi,i=0,1,…,m,t∈R1.并且當(dāng)Ker(-Q)≠{0}時,對于任意的x∈Ker(I-Q)且|x|≥Mi,i= 0,1,…,m,都有|▽Vi(x),Pf(t,x)|≥σ0 (?)t∈R1,其中P:Rn→Ker(I一Q)是一個正投影;(H4)：當(dāng)|X|→∞時,(H5)：當(dāng)Ker(I一Q)≠{0}時,Brouwer度deg(▽V0,BM0∩Ker(I-Q),0)≠0,其中Bρ={p∈Rn:|p|ρ}.則方程(0.0.1)至少有一個(Q,T)-旋轉(zhuǎn)周期解x*(t).定理0.0.3對于方程(0.0.1),假設(shè)存在一個C1的函數(shù)V,V：D→R1,使得如下所述的假設(shè)(H6)、(H7)和(H8)始終成立:(H6):D是一個有界開集;(H7):存在一個正常數(shù)σ,使得對于任意的(t,x)∈R1×(?)D都有|(▽V(x),f(t,x)|≥σ.并且當(dāng)Ker(I-Q)≠{0}時,對于任意的(t,x)∈R1×(?)(D∩Ker(I-Q)), |(▽V(x),Pf(t,x))|I≥σ,其中P:Rn→Ker(I-Q)是一個正投影;(H8):當(dāng)Ker(I-Q)≠{0}時,Brouwer度deg(▽V,D∩Ker(I-Q),0)≠0.則方程(0.0.1)至少有一個(Q,T)-旋轉(zhuǎn)周期解x*(t),且對于任意的t∈R1,都有x*(t)∈D.上面兩個結(jié)果中,推論0.0.2最早是由H.Wang等人用其他方法證明的[55],因此在本文中僅將其作為定理0.0.1的一個應(yīng)用實例,在2.3節(jié)中提供了一個新的證明并以推論的形式給出.而定理0.0.3則是全新的.這兩個結(jié)果分別從不同的方向給出了利用Lyapunov函數(shù)判斷旋轉(zhuǎn)周期解存在性的判別條件,我們在這一節(jié)中還給出了推論0.0.2的一個應(yīng)用實例.在2.4節(jié)中,我們證明了一個旋轉(zhuǎn)周期系統(tǒng)上的不變域原理.盡管這一原理在周期解的研究中非常受關(guān)注,但之前并沒有概周期解或者擬周期解方面的平行結(jié)果.旋轉(zhuǎn)周期解可以在某種程度上看作是擬周期的,因此我們的定理拓寬了不變域原理的應(yīng)用范圍.這一定理的具體內(nèi)容如下：定理0.0.4設(shè)D為Rn中的一個有界的單連通開集,D的邊界(?)D分段光滑.對于方程(0.0.1),記函數(shù)f的殼為H(f).假設(shè)如下所述的假設(shè)(H9)和(H10)始終成立:(H9)：對于任意的(t,p)∈R1×(?)D以及h∈H(f),h(t,p)都指向D的內(nèi)部；(H10)：令其中P：Rn→Ker(I-Q)是一個正投影.對于所有的a∈OD,都有g(shù)(a)≠0.則方程(0.0.1)至少有一個(Q,T)-旋轉(zhuǎn)周期解x*(t),且對于任意的t∈R1,都有x*(t)∈D.自然界中的現(xiàn)象并不一定都能用連續(xù)的系統(tǒng)進行刻畫,很多時候我們都會遇到系統(tǒng)在某些時刻發(fā)生跳躍或是間斷的情況.因此在第三章中,我們利用時標理論,討論了時標上的一個(Q,T)-旋轉(zhuǎn)周期系統(tǒng)x△=(t,x), (0.0.3)及其輔助系統(tǒng)x△=λf(t,x), (0.0.4)其中f(t,x):T×Rn→Rn是一個rd-連續(xù)函數(shù)并保證方程的解對于初值具有唯一性,T是一個時標,Q∈O(n),入∈[0,1].在3.2節(jié)中,我們給出一個系統(tǒng)(0.0.3)的旋轉(zhuǎn)周期解的存在性定理,其具體內(nèi)容如下：定理0.0.5設(shè)D為Rn中的一個有界開集.針對方程(0.0.4),我們做如下假設(shè):(H11):對于任意的入∈(0,1],方程(0.0.4)的每一個可能的旋轉(zhuǎn)周期解x(t)都滿足當(dāng)x(t)∈D時x(t)(?)(?)D (?)t∈[0,T]T；(H12)：當(dāng)Ker(I-Q)≠{0}.時,Brouwer度deg(g,D∩Ker(I-Q),0)≠0,其中P:Rn→Ker(I-Q)是一個正投影.如果對于方程(0.0.4),(H11)和(H12)始終成立,則方程(0.0.3)至少有一個(Q,T)-旋轉(zhuǎn)周期解x*(t)且對于任意的t∈[0,T]T,都有x*(t)∈D.作為定理0.0.5的一個應(yīng)用,我們在3.3節(jié)中證明了下面的推論并在該節(jié)的最后提供了兩個此推論在實際應(yīng)用中的例子.推論0.0.6對于方程(0.0.3),假設(shè)存在一個正常數(shù)M,使得對任意的|x(t)|≥M,t∈T,都有并且當(dāng)Ker(I-Q)≠{0)時,對所有的x∈Ker(I-Q),|x(t)|≥M,t∈T,有|x,Pf(t,x)|≥δ0,其中P:Rn→Ker(I-Q)是一個正投影.則方程(0.0.3)至少有一個(Q,T)-旋轉(zhuǎn)周期解x*(t).

  本文關(guān)鍵詞：非線性微分方程的旋轉(zhuǎn)周期解，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。