本文關(guān)鍵詞： 有限差分方法 高階精度差分格式 幾何守恒律 復(fù)雜構(gòu)型 數(shù)值精度分析 網(wǎng)格光滑性 網(wǎng)格質(zhì)量檢測　出處：《中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心》2015年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：作為最為古老的數(shù)值離散方法之一,有限差分方法因其簡單易懂而備受初學(xué)者的青睞,也因此而成為諸多數(shù)值離散類教科書的必講內(nèi)容。然而,令許多從事數(shù)值計(jì)算尤其是流體動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真工作的研究人員感到困惑的是：對數(shù)值離散方法具有建立基本概念和啟蒙思想作用的有限差分方法在實(shí)際工程問題的應(yīng)用中卻難覓其蹤跡。在固體力學(xué)問題的計(jì)算應(yīng)用中有限元方法已經(jīng)相當(dāng)成熟,而幾乎所有的流體力學(xué)商業(yè)計(jì)算軟件都是基于有限體積框架的,僅有少數(shù)研究人員基于有限差分方法編寫計(jì)算代碼,并主要結(jié)合高階精度差分格式應(yīng)用于繞簡單外形的流動(dòng)機(jī)理研究中。目前有限差分方法難以應(yīng)用于大規(guī)模的工程實(shí)際問題中,其主要原因是有限差分方法在復(fù)雜網(wǎng)格中的計(jì)算魯棒性較差。不同于有限體積方法,有限差分方法實(shí)施的前提是坐標(biāo)變換(從物理空間到計(jì)算空間)及其逆變換(從計(jì)算空間到物理空間)的嚴(yán)格成立,因此有限差分方法強(qiáng)烈依賴于坐標(biāo)變換。大量的研究工作表明：在坐標(biāo)變換的諸多特性中,其幾何守恒律特性對有限差分方法的計(jì)算魯棒性具有決定性的影響。坐標(biāo)變換的幾何守恒律特性在微分意義下是自動(dòng)成立的,但在差分格式的離散下卻不一定成立。差分離散下幾何守恒律的難以滿足嚴(yán)重影響了有限差分方法尤其是高階精度有限差分方法的魯棒性,極大地限制了其在工程實(shí)際問題中的應(yīng)用。本文詳細(xì)分析了滿足幾何守恒律的充分條件(CMM),并在CMM條件的指引下依據(jù)各變換系數(shù)離散后的幾何意義給出了其對稱守恒計(jì)算形式(SCMM),隨后還對SCMM的優(yōu)越性通過數(shù)值試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。針對幾何守恒律誤差對數(shù)值離散結(jié)果的影響,’本文首先詳細(xì)分析了網(wǎng)格光滑性對幾何守恒律誤差數(shù)值收斂精度的影響規(guī)律,隨后分析了幾何守恒律的滿足與否對數(shù)值離散結(jié)果數(shù)值精度的影響,并均通過相應(yīng)的數(shù)值試驗(yàn)對理論分析的結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證。本文的研究結(jié)果表明：幾何守恒律的滿足能夠有效減小數(shù)值離散誤差,而當(dāng)網(wǎng)格不夠光滑時(shí),幾何守恒律的滿足能夠?qū)?shù)值離散結(jié)果的精度提高整整一階。在分析雅可比的不同計(jì)算形式所代表的幾何意義時(shí),我們發(fā)現(xiàn)不同計(jì)算形式離散后的數(shù)值體積是不一樣的,當(dāng)計(jì)算網(wǎng)格單元為平行六面體時(shí),三種計(jì)算形式的數(shù)值體積相等；而當(dāng)網(wǎng)格單元不是平行六面體時(shí),三個(gè)數(shù)值體積一般不相等。一般而言,計(jì)算網(wǎng)格單元相對于平行六面體的畸變愈大,則雅可比的三種計(jì)算形式離散后的數(shù)值體積差異便愈大,據(jù)此本文提出了基于SCMM的網(wǎng)格檢測方法,可以對結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的網(wǎng)格質(zhì)量進(jìn)行檢測。與現(xiàn)有商業(yè)軟件的網(wǎng)格檢測方法不同,本文的網(wǎng)格檢測方法與數(shù)值離散格式相關(guān)。即使是對于同一套網(wǎng)格,數(shù)值離散格式不同時(shí)其檢測結(jié)果也是各異的,能較為充分地體現(xiàn)網(wǎng)格質(zhì)量與數(shù)值離散格式的相關(guān)性。最后,在相關(guān)研究結(jié)果的基礎(chǔ)上,本文初步實(shí)現(xiàn)了高階精度有限差分格式對三維復(fù)雜外形流動(dòng)的數(shù)值模擬能力。全文共分為七章,各章內(nèi)容概述如下：第一章為引言。首先簡要介紹了有限差分方法尤其是高階精度有限差分方法的研究歷史與現(xiàn)狀,并指出幾何守恒律問題的懸而未決直接限制了高階精度有限差分方法的推廣應(yīng)用。隨后對有限差分方法中關(guān)于幾何守恒律問題的研究工作進(jìn)行了簡單敘述,并分別介紹了體積守恒律和面積守恒律的國內(nèi)外研究概況。最后圍繞有限差分方法的幾何守恒律問題提出了本文的主要研究內(nèi)容。第二章為幾何守恒律問題的提出。首先簡要介紹了有限差分方法中的坐標(biāo)變換關(guān)系,并據(jù)此將一般守恒律控制方程由直角坐標(biāo)系變換到計(jì)算坐標(biāo)系。在計(jì)算坐標(biāo)系下給出有限差分離散算子的一般約定特性后,由自由流守恒條件導(dǎo)出有限差分離散中的幾何守恒律問題。第三章為幾何守恒律問題的理論研究。在簡單分析了國內(nèi)外在兒何守恒律方面的各種解決途徑的優(yōu)劣后,依據(jù)滿足幾何守恒律的充分條件,提出了有限差分方法中網(wǎng)格變換導(dǎo)數(shù)的對稱守恒計(jì)算方法(SCMM)。并在隨機(jī)網(wǎng)格中對SCMM的有效性進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證,基于線性和非線性問題的數(shù)值實(shí)驗(yàn)均表明：本文提出的幾何守恒律解決途徑(SCMM)能有效減小有限差分方法在非光滑網(wǎng)格中的離散誤差,尤其是對于非線性問題。第四章為網(wǎng)格光滑性對幾何守恒律誤差的影響研究。對幾何守恒律不滿足時(shí)(網(wǎng)格變換導(dǎo)數(shù)的內(nèi)、外層差分算子不相同)其數(shù)值誤差與網(wǎng)格光滑性的關(guān)系進(jìn)行了理論推導(dǎo),并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)對理論推導(dǎo)的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。另外,對數(shù)值實(shí)驗(yàn)中涉及的不同精度誤差的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果也給出了詳細(xì)的理論證明。第五章為幾何守恒律誤差對數(shù)值離散精度的影響研究,通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)和理論分析研究著重考察了在不同光滑程度網(wǎng)格中,幾何守恒律的滿足與否對物理解的數(shù)值離散精度的影響。幾何守恒律的滿足能有效減小物理解的數(shù)值離散誤差,而當(dāng)計(jì)算網(wǎng)格不是足夠光滑時(shí),幾何守恒律的滿足還能將物理解的數(shù)值離散精度提高整整一階。第六章為網(wǎng)格檢測方法研究。針對現(xiàn)有網(wǎng)格檢測方法與數(shù)值離散過程脫節(jié)的問題,提出了與數(shù)值離散方法相關(guān)的SCMM網(wǎng)格檢測方法,并基于坐標(biāo)變換雅可比的不同離散形式之間的差異體現(xiàn)了網(wǎng)格單元與標(biāo)準(zhǔn)平行六面體之間的差異給出了SCMM網(wǎng)格檢測方法的檢測指標(biāo)。隨后的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明：SCMM網(wǎng)格檢測方法對網(wǎng)格質(zhì)量較為敏感,且能較好地體現(xiàn)數(shù)值方法對網(wǎng)格質(zhì)量的依賴性。第七章是本文的結(jié)束語。概括了論文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn),并對未來的工作方向進(jìn)行了展望。
[Abstract]:As one of the most ancient numerical discretization methods , the finite difference method is very popular with beginners because of its simple and easy - to - understand . However , it is difficult to find trace in the application of finite difference method based on finite difference method . In this paper , the influence of grid smoothness on the precision of geometric conservation laws is analyzed in detail . The results of this paper are as follows :

【學(xué)位授予單位】：中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82

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本文編號：1537487