本文關(guān)鍵詞： 奇異攝動 量身定做有限點方法 一致收斂 界面問題 直接線法　出處：《清華大學》2016年博士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：在眾多科學與工程領(lǐng)域,我們經(jīng)常需要數(shù)值求解帶奇性的偏微分方程初邊值問題,這類問題一直吸引著許多數(shù)學家和工程師的注意。本文中主要研究求解帶小參數(shù)的拋物方程奇異攝動問題以及平面星形區(qū)域上的二階橢圓方程界面問題的數(shù)值方法。本文首先提出了求解拋物方程奇異攝動問題的量身定做有限點方法。這類問題由于最高階項前面帶有小參數(shù),所以會在部分區(qū)域邊界上產(chǎn)生邊界層或在區(qū)域內(nèi)部產(chǎn)生內(nèi)層。在邊界層或內(nèi)層里,問題的解變化非常迅速,想要捕捉到這種變化比較困難。我們的量身定做有限點方法的主要思想是運用局部約化方程的解作為基函數(shù)來構(gòu)造求解原問題的數(shù)值格式。在本文中,首先對熱傳導問題,我們采用多項式函數(shù)作為基函數(shù),重構(gòu)出了傳統(tǒng)的有限差分格式。然后我們設(shè)計了求解反應對流擴散問題的量身定做有限點格式。將我們的格式應用到Shishkin網(wǎng)格上,得到了最大模意義下的一致收斂誤差估計。我們的數(shù)值算例驗證了方法的有效性。本文還討論了平面星形區(qū)域上的二階橢圓方程界面問題的直接線法。首先,我們運用一個合適的坐標變換,將原星形區(qū)域上的界面問題轉(zhuǎn)換成一個新坐標系下半無限長條形區(qū)域上的間斷系數(shù)問題;然后通過有限元逼近,我們得到了該間斷系數(shù)問題的一個半離散近似,它等價于一個常微分方程組邊值問題;通過求解此邊值問題,最終得到了原界面問題的半離散近似解。我們還給出了近似解的誤差估計。數(shù)值結(jié)果顯示我們的方法在不知道原問題奇性的情況下也能得到問題真解的高精度近似。
[Abstract]:In many fields of science and engineering, we often need to solve the initial boundary value problems of partial differential equations with singularity. This kind of problem has been attracting the attention of many mathematicians and engineers. In this paper, the numerical square for solving singular perturbation problem of parabolic equation with small parameters and the interface problem of second-order elliptic equation in plane star domain is studied. In this paper, a method of customizing finite points for solving singular perturbation problem of parabolic equations is presented. This kind of problem has a small parameter in front of the highest order term. Therefore, the boundary layer will be generated on some regional boundaries or the inner layer within the region. In the boundary layer or inner layer, the solution of the problem changes very quickly. It is difficult to capture this change. The main idea of our tailor-made finite point method is to use the solution of the local reduction equation as the basis function to construct the numerical scheme for solving the original problem. First of all, we use polynomial function as the basis function for the heat conduction problem. After reconstructing the traditional finite difference scheme, we design a custom-made finite point scheme for the reaction-convection-diffusion problem and apply our scheme to the Shishkin mesh. The uniformly convergent error estimates in the sense of maximum norm are obtained. Our numerical examples verify the validity of the method. In this paper, we also discuss the direct line method for the boundary problems of second-order elliptic equations in a plane star domain. By using a suitable coordinate transformation, the interface problem in the original star region is transformed into the discontinuous coefficient problem in the semi-infinite strip region in a new coordinate system. Then, by finite element approximation, we obtain the semi-discrete approximation of the discontinuous coefficient problem, which is equivalent to the boundary value problem of ordinary differential equations. By solving the boundary value problem. Finally, the semi-discrete approximate solution of the original interface problem is obtained. The error estimates of the approximate solution are also given. The numerical results show that our method can also obtain the exact approximate solution of the problem without knowing the singularity of the original problem. As if.
【學位授予單位】：清華大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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本文編號：1468835