本文關鍵詞：幾類退化Keller-Segel方程一致L~∞有界弱解的存在性　出處：《吉林大學》2017年博士論文　論文類型：學位論文

  更多相關文章： 趨化性 非牛頓滲流 全局存在性 快擴散 臨界空間 半群理論 單調(diào)算子 超壓縮性 Bootstrap 迭代 Aubin-Lions-Dubinskii 引理

【摘要】：現(xiàn)如今,隨著交叉學科研究風靡全世界,越來越多的數(shù)學家開始關注其他學科的模型,例如生物模型,化學模型和物理模型.在這篇文章中,我們將研究一個非常有趣的關于細菌趨化性的生物數(shù)學模型:Keller-Segel模型.Keller-Segel模型是由Keller和Segel在1970年[1,2]提出的,它主要描述的是網(wǎng)柄菌的生物趨化性.在這個模型中,細菌被一種化學物質(zhì)所吸引,并且可以釋放出同一種化學物質(zhì).我們研究的主要目標是對于兩種不同的退化Keller-Segel模型,證明其弱解的全局存在性.這篇文章的主要內(nèi)容如下:在第一章中,我們介紹了 Keller-Segel模型的背景信息.通過敘述原始模型的構造過程,我們希望讀者能夠更深入而全面的了解Keller-Segel模型.我們還列出了一些著名的簡化模型以及優(yōu)雅的結果,旨在向讀者展示Keller-Segel模型的動人之處,從而吸引更多的人投身到研究中來.隨后,我們陳述了此文靈感的來源,克服的困難以及得到的結論.我們還在這一章中給出了一些尚未解決的問題.在第二章中,我們研究了如下的退化拋物-拋物Keller-Segel模型:這里d≥3,擴散指數(shù)0m2-2/d其中,u(x,t)表示細菌的密度,v(x,t)表示化學物質(zhì)的濃度.不失一般性地,我們假設v(x,0)= 0,即最初的容器中并沒有化學物質(zhì),隨后由細菌產(chǎn)生.為了證明弱解的全局存在性,我們首先要得到先驗估計.對于已經(jīng)被廣泛研究的退化拋物-橢圓Keller-Segel方程,具有最佳常數(shù)的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式是進行估計的關鍵:然而在退化的拋物一拋物Keller-Segel方程中,HLS不等式不再適用,因為v(x,t)無法由基本解的形式表出.因此,我們利用半群理論代替HLS不等式進行先驗估計.以下關于半群的定義及估計是標準的.考慮柯西問題:定義0.0.1.設T＞0，p≥1(?)以及(?).函數(shù)(?)滿足是問題(2)在[0,T]上唯一的溫和解.這里熱半群算子et△為(?),其中G(x,t)是熱核即(?)不難證明,上面定義的溫和解也是方程的一個弱解.接下來,我們介紹一個著名的熱核的最大Lp模正則性結論,它是進行先驗估計的關鍵.引理 0.0.1.假設 1p+∞,T0.那么對每一個 f ∈ Lp(0,T;Lp(Rd)),方程(2)在Lp(0,T;Lp(Rd))的意義下,有且僅有一個解h(x,t)滿足h0(x)=0.進一步地,對所有的f∈Lp(0,T;Lp(Rd)存在一個只與p有關的正常數(shù)Cp,使得現(xiàn)在,應用最大Lp模正則性以及一些標準估計,我們得到了方程(1)弱解的先驗估計：眾所周知,弱解的L1模和L∞模有界是兩個非常重要的性質(zhì).在進行先驗估計的過程中,我們能夠得到弱解的質(zhì)量守恒.接下來,我們將應用Bootstrap迭代的方法證明弱解的L∞模是一致有界的.根據(jù)上面所得到的弱解的先驗估計,我們能夠通過構造(1)的正則化問題來證明方程弱解的全局存在性,即證明第二章的主要定理.我們考慮如下的正則化問題:對ε0,其中d ≥ 3,0m2-2/d對初值u0ε(x)進行適當?shù)募僭O,我們能夠證明正則化問題存在一個經(jīng)典解且滿足定理0.0.1中所有的先驗估計.在整個證明的過程中,我們主要遇到的困難是無法應用Aubin-Lions引理證明強收斂,因為只得到了的一致有界性而不是%絬ε模的.因此,我們需要應用Aubin-Lions-Dubinskii引理[3]:引理0.0.2.設B,Y是Banach空間,M+是B中的一個非負半賦范錐,且滿足M+ ∩Y≠(?),1≤p≤∞.如果(i)M+→B是緊的,(ii)對所有(ωn)(?)B,當n → ∞時,在B中有ωn→ω,在Y中有ωn→ 0,則ω = 0,(iii)U(?)Lp(0,T;M+ ∩ Y)且在 Lp(0,T;M+)中有界,(ⅳ)當 h→0 時,在 u ∈ U 中 一致地有 ||u(t+h-h)-u(t)||Lp(0,T-h;Y)→0,那么U在Lp(0,T;B)中是相對緊的.為了應用Aubin-Lions-Dubinskii引理,我們選取B = Lp(Ω),并構造是一個滿足下面定義的Lp+1中的非負半賦范錐.定義0.0.2.設B是一個Banach空間,M+(?)B滿足(1)對所有的u ∈M+,C≥0有有Cu ∈M+,(2)存在函數(shù)[·]:M+ →[0,∞),使得當且僅當u = 0時,[u]= 0,(3)對所有C≥0,有[Cu]= C[u],那么M+是B中的一個非負半賦范錐.從而,應用Aubin-Lions-Dubinskii引理,我們可以逐步的證明全局弱解的存在性.此外,當1m2-2/d時,弱解還是一個弱熵解.我們已經(jīng)列出了證明第二章中存在性定理的重要思想,現(xiàn)在我們給出定理的完整敘述:在第二章的最后,我們證明了弱解的局部存在性并給出了一個爆破準則.當0m2-2/d時,退化拋物-拋物Keller-Segel方程弱解的有限時間爆破仍然是一個公開問題.第三章,我們在d ≥ 3的情況下提出了 p-Laplace Keller-Segel方程:其中p1.這個模型是退化拋物-橢圓Keller-Segel模型的一個自然延伸,因為多孔介質(zhì)方程和p-Laplace方程都叫作非線性擴散方程.二者雖然屬于不同的領域,但在描述的現(xiàn)象上,使用的技巧上以及獲得的結果上都有很多重合之處.在這個p-Laplace Keller-Segel方程中,我們找到了一個臨界指數(shù)p,它與方程(1)中的m = 2-2/d扮演相同的角色.當p=3d/d+1時,如果(u,v)是方程(5)的一個解,我們構造u的質(zhì)量守恒坐標變換以及相應的v的坐標變換那么(uλ,vλ)也是方程(5)的一個解.因此,我們將p = 3d/d+1稱為臨界指數(shù).對一般的p,(uλ,vλ)滿足如下的方程根據(jù)p的不同取值,我們將問題分為超臨界情形和次臨界情形.當1p3d/d+1時,我們稱為超臨界情形.在超臨界問題中,當細菌密度很高時,聚合作用強于擴散作用,導致有限時間爆破;當細菌密度很低時,擴散作用強于聚合作用,導致無限時間的傳播.相應地,當p3d/d+1時,我們稱為次臨界情形.在次臨界問題中,當細菌密度很高時,擴散作用強于聚合作用,阻止了有限時間爆破;當細菌密度很低時,聚合作用強于擴散作用,從而阻止了無限時間的傳播.在第三章中,我們的主要目的是在超臨界大初值假設下,證明方程(5)弱解的全局存在性.為了證明定理,我們首先要進行先驗估計:對于p-LaplaceKeller-Segel方程,我們并沒有像第二章一樣得到u的質(zhì)量守恒,這是一個公開問題.但是使用Bootstrap迭代方法,我們同樣能夠得到方程(5)弱解的L∞一致有界性.證明過程中的主要思想與定理0.0.2基本相同,但細節(jié)上卻存在很大差異.得到弱解的先驗估計后,我們構造方程(5)對應的正則化問題來證明本章中最主要的存在性定理:對于ε0這里α(d)是d-維單位球的體積.對初值u0ε(x)進行適當?shù)募僭O,我們能夠證明正則化問題存在一個經(jīng)典解且滿足定理0.0.4中所有的先驗估計.那么結合Aubin-Lion引理得到的強收斂以及一致有界估計得到的弱收斂,我們能夠證明第三章的主要定理:定理0.06.設d≥3,1p3d/d+1,q=d(3-p)/p.如果u0∈L+1(Rd)∩L∞(Rd),A(d,p)=Cp,d3-p-‖u0‖Lq3-p0,其中Cp,d=[qpp/Kp(d,p)(q-2)+p)p]1/3-p是一個常數(shù),那么方程(5)存在一個非負的全局弱解(u,v),使得定理0.04中所有的先驗估計以及定理0.05中的L∞一致有界估計都成立.定理的證明過程中,困難的部分是用單調(diào)算子理論得到非線性項的極限.下面的引理是單調(diào)算子的一個重要性質(zhì):引理0.0.3.對任意η,η'∈Rd,下列不等式成立其中C1和和C2是兩個只依賴于p的正數(shù).當1p3d/d+1時,p-Laplace Keller-Segel方程弱解的有限時間爆破仍然是有待解決的問題。
[Abstract]:Now, with the interdisciplinary research has swept the world, more and more mathematicians began to pay attention to other disciplines such as model, biological model, chemical model and physical model. In this article, we will study a very interesting about the bacterial chemotaxis biological mathematical models: Keller-Segel model.Keller-Segel model is put forward by Keller and Segel [1,2] in 1970, it mainly describes the Dictyostelium biological chemotaxis. In this model, the bacteria are attracted by a chemical substance, and can release the same chemicals. The main goal of our research is for two different kinds of degenerate Keller-Segel model prove that the weak global existence of solutions. The main contents of this article are as follows: in the first chapter, we introduce the background information of the Keller-Segel model. Through the construction process described the original model, I hope to read Who can understand the Keller-Segel model is more in-depth and comprehensive. We also list some famous simplified model and elegant results, to show readers the beauty of the Keller-Segel model, in order to attract more people to participate in the study. Then, we presented the sources of inspiration, overcome difficulties and get the conclusion we are still. This chapter gives some unsolved problems. In the second chapter, we study the degenerate parabolic parabolic Keller-Segel model as follows: here D is more than 3, the diffusion index 0m2-2/d the U (x, t) said the bacterial density, V (x, t) said the chemical concentration without loss of generality, we assume that V (x, 0) = 0, which is the first container and no chemical substances produced by bacteria. Then, in order to prove the global existence of weak solutions, we must first obtain a priori estimates for has been widely studied Degenerate parabolic elliptic Keller-Segel equation, Hardy-Littlewood-Sobolev inequality with a best constant is the estimation of the key: but in the degradation of a parabolic parabolic Keller-Segel equation, HLS inequality is no longer applicable, because V (x, t) which could form the fundamental solution. Therefore, we use the theory of Semigroups of transcendental inequality instead of HLS the following about semigroup estimates. The definition and estimation is standard. Consider the Cauchy problem: the definition of 0.0.1. T > 0, P = 1 (?) and (?). The function (?) meet the problem (2) in [0, only a mild solution of T]. This heat semigroup et Delta for (?), G (x, t) is the thermonuclear (?) it is not difficult to prove that the above definition of mild solution is a weak solution of the equation. Then, we introduce the maximum Lp mode regularity conclusion of a famous thermonuclear, it is a priori estimation key lemma 0.0.1. hypothesis. 1p+ ~ T0., so on 姣忎竴涓，

本文編號：1425413