本文關(guān)鍵詞：兩類矩陣優(yōu)化問題的擾動(dòng)分析　出處：《大連理工大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：矩陣優(yōu)化問題(Matrix Optimization Problems)是指目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù)中含有矩陣變量或者帶有矩陣約束的優(yōu)化問題.這類問題被廣泛地應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)金融、工程計(jì)算等領(lǐng)域.在設(shè)計(jì)算法求解這些問題,尤其是在終止準(zhǔn)則和收斂性分析中,擾動(dòng)分析理論起著重要作用.因此,對(duì)矩陣優(yōu)化問題進(jìn)行擾動(dòng)分析理論的研究是非常必要的.本論文主要研究兩類矩陣優(yōu)化問題,分別是由譜范數(shù)上圖誘導(dǎo)的矩陣優(yōu)化問題和半定矩陣優(yōu)化問題.本論文所闡述的主要研究結(jié)果可概括如下：1.第三章研究的是由譜范數(shù)上圖誘導(dǎo)的矩陣優(yōu)化問題(MOSN)的最優(yōu)性條件.我們首先給出由譜范數(shù)上圖定義的錐的變分幾何性質(zhì)以及臨界錐的刻畫.由于MOSN的約束條件可以轉(zhuǎn)化為半定矩陣約束,這樣使得MOSN可以表述為一個(gè)半定規(guī)劃(SDP)問題.所以針對(duì)約束非退化條件和強(qiáng)二階充分條件,我們研究了兩個(gè)問題之間的關(guān)系.證明了它們的強(qiáng)二階充分條件是等價(jià)的,但是對(duì)于約束非退化條件,MOSN的比其SDP轉(zhuǎn)化問題的弱,并舉例加以說明.2.第四章研究的是由譜范數(shù)上圖誘導(dǎo)的矩陣優(yōu)化問題的擾動(dòng)分析.首先,將原問題的一階必要條件由一個(gè)非光滑方程來表示,通過對(duì)該非光滑方程中的投影算子進(jìn)行光滑化,我們得到一個(gè)光滑方程.然后,我們研究光滑化投影算子的微分性質(zhì),并建立了最優(yōu)解處的約束非退化條件和強(qiáng)二階充分條件、該光滑方程在其解處的Clarke廣義微分的非奇異性等一系列等價(jià)條件.最后利用此結(jié)果給出了采用光滑牛頓法求解此類問題的收斂性結(jié)果.3.第五章研究的是與半定矩陣有關(guān)的優(yōu)化問題,包括半定矩陣廣義方程和歐式距離矩陣優(yōu)化問題.首先,在部分約束非退化和嚴(yán)格互補(bǔ)等條件下,給出半定矩陣廣義方程解映射伴同導(dǎo)數(shù)的精等式刻畫.由此,建立了解映射Aubin性質(zhì)成立的等價(jià)條件和非線性凸半定規(guī)劃問題的Karush-Kuhn-Tucker (KKT),點(diǎn)強(qiáng)正則性成立的充分條件.其次,證明了在嚴(yán)格Robinson約束規(guī)范和二階充分條件下,歐式距離矩陣優(yōu)化問題KKT映射的孤立平穩(wěn)性成立.
[Abstract]:Matrix Optimization problems). Objective function or constraint function is an optimization problem with matrix variables or matrix constraints. This kind of problem is widely used in economy and finance. The perturbation analysis theory plays an important role in the design algorithm to solve these problems, especially in the termination criterion and convergence analysis. It is necessary to study the perturbation analysis theory of matrix optimization problem. In this paper, two kinds of matrix optimization problems are studied. These are matrix optimization problems induced by spectral norm and semidefinite matrix optimization problems, respectively. The main results of this paper can be summarized as follows:. 1. In Chapter 3, we study the matrix optimization problem induced by spectral norm. We first give the geometric properties of the cone defined by the spectral norm graph and the characterization of the critical cone. Since the constraint conditions of MOSN can be transformed into semi-definite matrix constraints. In this way, MOSN can be expressed as a semi-definite programming problem. Therefore, for constrained non-degenerate conditions and strong second-order sufficient conditions. We study the relationship between the two problems and prove that their strong second-order sufficient conditions are equivalent, but for constrained non-degenerate conditions, the SDP transformation of MOSN is weaker than that of its SDP transformation problem. An example is given to illustrate the perturbation analysis of matrix optimization problem induced by spectral norm. Firstly, the first order necessary condition of the original problem is represented by a nonsmooth equation. By smoothing the projection operator in the nonsmooth equation, we obtain a smooth equation. Then, we study the differential properties of the smooth projection operator. The constrained nondegenerate condition and the strong second order sufficient condition of the optimal solution are established. A series of equivalent conditions, such as the nonsingularity of the Clarke generalized differential at the solution of the smooth equation, are given. Finally, the convergence result of the smooth Newton method for solving this kind of problems is given. 3. 5th chapter. The optimization problem related to semidefinite matrix is studied. It includes the generalized equation of semidefinite matrix and the Euclidean distance matrix optimization problem. Firstly, under the condition of partial constraint nondegeneracy and strict complementarity, the exact equality characterizations of the mapping and derivative of the solution of the semidefinite matrix generalized equation are given. In this paper, we establish the equivalent conditions for the existence of Aubin properties of mappings and the Karush-Kuhn-Tucker KKT for nonlinear convex semidefinite programming problems. Secondly, it is proved that the isolated stationarity of KKT mapping for Euclidean distance matrix optimization problem is established under the strict Robinson constraint criterion and the second order sufficient condition.
【學(xué)位授予單位】：大連理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O224

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本文編號(hào)：1417906