本文關(guān)鍵詞：倒向隨機(jī)微分方程的可解性研究　出處：《山東大學(xué)》2017年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

  更多相關(guān)文章： 倒向隨機(jī)微分方程 一致連續(xù)系數(shù) 線性增長 二次增長 雙邊反射倒向隨機(jī)微分方程 懲罰方法 正倒向隨機(jī)微分方程

【摘要】：在文[75]中,Pardoux和Peng引入了下面形式的非線性倒向隨機(jī)微分方程(簡記為:BSDEs):并證明了若ξ是平方可積,生成元f關(guān)于(y,z)是Lipschitz的,則BSDE(1)存在唯一的適應(yīng)解。從那時(shí)起,倒向隨機(jī)微分方程在許多領(lǐng)域逐漸變成了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具,例如:金融數(shù)學(xué)、隨機(jī)微分博弈、最優(yōu)控制、偏微分方程等等。由于這些原因,人們做了很多工作來減弱生成元f的Lipschitz條件。在本文中,我們主要討論BSDE(1)的可解性。我們首先在第一章中討論當(dāng)生成元f滿足一類一致連續(xù)條件時(shí),多維BSDEs的可解性問題。為了得到我們的結(jié)果,由f關(guān)于(y,z)的一致連續(xù)性,我們首先構(gòu)造出一列在整個(gè)平面(y,z)上一致收斂到f的Lipschitz函數(shù)列{fn}n≥0。其主要難點(diǎn)是如何證明(yn,zn)收斂到BSDE(1)的解。為了證明(yn,zn)n≥0的收斂性,對于任意給定的(yn,zn)n≥0和(ym,zm)m≥0,其中n ≠ m,不同于以前的方法應(yīng)用Girsanov變換削去控制項(xiàng)z,我們通過證明|yn-ym|是有界的,進(jìn)而通過一個(gè)ODE的解去控制|yn-ym|,由此我們將證明序列(yn,zn)n≥0收斂到BSDE(1)的解。通過同樣的方法,我們證明了 BSDE(1)的解也是唯一的。第二章,我們研究一類線性增長的多維BSDEs的可解性。我們通過引入一個(gè)隨機(jī)過程的包絡(luò)的概念,構(gòu)造一族隨機(jī)型微分方程,它們既可以看成BSDEs,也可以看成倒向常微分方程,使得它們的解在相應(yīng)的子停時(shí)區(qū)間上能夠控制|yn-ym|。通過改變隨機(jī)型微分方程終端時(shí)間和終端值,我們將證明序列(yn,zn)n≥0收斂到BSDE(1)的解。類似地,我們證明BSDE(1)的解也是唯一的。在第三章中,借助于第二章中引入的方法,我們證明了一類二次增長的BSDEs的解的存在唯一性。在第四章中,我們將用懲罰函數(shù)方法證明在一般的反射邊界條件下,雙邊反射倒向隨機(jī)微分方程有唯一的適應(yīng)解。為了解雙邊反射倒向隨機(jī)微分方程,以前的方法在本質(zhì)上是借助于單邊反射倒向隨機(jī)微分方程的結(jié)論,然后對另一邊采用懲罰函數(shù)法,即把雙邊反射問題轉(zhuǎn)化成單邊反射問題。在本章中,我們借助于文[43]中局部解的概念,在一個(gè)充分必要條件下,對雙邊同時(shí)采用懲罰函數(shù)方法并證明了雙邊反射倒向隨機(jī)微分方程有唯一的平方可積解。作為該方法的一個(gè)應(yīng)用,我們將用該方法證明解耦的滿足線性增長條件的雙邊反射正倒向隨機(jī)微分方程是可解的。不用借助于單邊反射倒向隨機(jī)微分方程的結(jié)果,我們用懲罰函數(shù)方法直接處理了雙邊反射倒向隨機(jī)微分方程,這說明了雙邊反射倒向隨機(jī)微分方程在本質(zhì)上可以看成是沒有反射邊界的倒向隨機(jī)微分方程。本文共分為五章,以下是本文的主要結(jié)論。第一章:在本章中,我們研究一致連續(xù)系數(shù)的多維倒向隨機(jī)微分方程的可解性,在下面的條件下:(H1.1).隨機(jī)變量ξ ∈ L2(Ω,F,P),過過程(·,·,0,0),(0 ≤t≤1)屬于2,2且對任意的(y,z)∈Rd× d×m,隨機(jī)過程(f(·,·,y,z))0 ≤t≤1是P-可測的。(H1.2).(i)存在一至多線性增長的連續(xù)的非降函數(shù)Φ:R+→R+滿足Φ(0)= 0以及Φ(x)0,(?)x ∈(0,+∞),使得:(ii)存在一至多線性增長的連續(xù)函數(shù)Ψ:R+→R+ 滿足Ψ(0)= 0,且在0的一個(gè)鄰域內(nèi)是凸的,使得:其中‖z‖ =[tr(zz*)]1/2,z*表示z的轉(zhuǎn)置。我們證明:定理0.1.若ξ ∈L2(Ω,F,P),函函數(shù)滿足假設(shè)條條件(H1.1)和(H1.2),則在S2,d×H2,d×m中存在唯一的一對適應(yīng)過程(y,z),使得第二章:在這一章,我們研究一類線性增長的多維BSDEs的解的存在唯一性,即在下面的條件下:(H2.1).隨機(jī)變量ξ ∈L2(Ω,F,P),過程過(f·,·,0,0),(0 ≤ t ≤ 1)屬且對任意的(y,z)∈Rd×Rd×m,隨機(jī)過程(f(·,·,0,y,z))0≤t≤1是P-可測的。(H2.2).生成元f關(guān)于(y,z)是線性增長的,即存在一個(gè)非負(fù)常數(shù)K使得對于任意的(t,ω),我們有|f(t,w,y,z)| ≤ K(1 + |y| + |z|)。(H2.3).對于任意的i ∈{1,2,…,d},fi(t,y,z)= fi(t,y,zi),即fi僅依賴賴于的第i行向量zi。(H2.4).對于P-a.s.ω ∈ Ω,存在一線性增長的連續(xù)的非降函數(shù)Φ:R+ → R+滿足Φ(0)= 0以及Φ(x)0,(?)x ∈(0,+∞),使得我們得到:定理0.2.若ξ∈L2(Ω,F,P),函數(shù)f滿足假設(shè)條件(H2.1)-(H2.4),則S2,d×H2,d×m中存在唯一的一對適應(yīng)過程(y,z),使得第三章:在這一章,我們研究一類滿足二次增長的多維BSDEs的可解性,在下面的條件下:(H3.1).隨機(jī)變量ξ∈L2(Ω,F,P)過程f(·,·,0,0),(0 ≤ t ≤ 1)屬于H2,d 且對任意的(y,z)∈Rd × Rd×m 隨機(jī)過程(f(·,·,y,z))0≤ t ≤1是P-可測的。(H3.2).對于任意的i∈{1,2,…,d},fi(t,y,z)=fi(t,y,zi),即fi作為z的函數(shù)僅依賴于z的第i行zi。(H3.3).存在一至多線性增長的連續(xù)的非降函數(shù)Φ:R+ → R+滿足Φ(0)= 0以及Φ(x)0,(?)x ∈(0,+∞),使得:并且.f0+[Φ(x)]-1dx = +∞。(H3.4).存在一個(gè)非負(fù)常數(shù)K使得對于任意的i ∈ {1,2,…,d},我們有P-a.s.我們可得:定理0.3.假設(shè)ξ∈L2(Ω,F,P),f滿足假設(shè)(H3.1)-(H3.4)從若下面的BSDE的解存在,則必然唯一。第四章:在這一章中,我們用懲罰函數(shù)方法研究雙邊反射BDSEs的可解性,并將相應(yīng)的的方法和結(jié)果應(yīng)用到滿足線性增長條件的雙邊反射的解耦的正倒向隨機(jī)微分方程。其中H是一連續(xù)的半鞅且滿足性質(zhì):E[f0T h(s)2ds]+∞,若過程At的全變差過程記為St,則有E[ST2]+∞。定理0.4.若生成元g是Lipschisz的,反射邊界L,U滿足條件LU,L(T)≤ξ≤ U(T),a.s.,以及假設(shè)(H4.1),則存在唯一的過程(y,z,K+,K-)∈L2(1;0,T)×L2(1×d;0,T)×S2ci×S2ci使得:定理0.5.若方程(4.29)的生成元g(s,x,y,z)滿足假設(shè)(H4.2),且關(guān)于y和z滿足Lipschitz條件,則存在可測的確定函數(shù)a:[0,T]×Rl→ Rm和β:[0,T]×Rl → Rm×d,使得對于任意的0 ≤ t ≤ s ≤ T,Yt,x(s)= α(s,Xt,x(s)),Zt,x(s)=β(s,Xt,x(s))。定理0.6.在(H4.2)假設(shè)條件下,(Y,Z,K+,K-)是雙邊反射BSDE(4.29)的解。
[Abstract]:In [75], Pardoux and Peng introduced the nonlinear backward stochastic differential equation of the following form (abbreviated as BSDEs), and that if x is a square integrable, the generator f on the (y, z) Lipschitz, BSDE (1) is the only solution to adapt. From then on, backward stochastic differential equation has become an important mathematical tool in many scientific fields such as: financial mathematics, stochastic differential game, optimal control, partial differential equations and so on. Because of these reasons, people do a lot of work to reduce the generators of F Lipschitz. In this paper, we mainly discuss the BSDE (1) solution. In the first chapter, we discuss when the generator f satisfies a uniform continuity conditions, solvability of multidimensional BSDEs. In order to obtain our results by about f (y, z) of the uniform continuity, we first constructed a column in the plane (y, z). Converge to f 鐨凩ipschitz鍑芥暟鍒梴fn}n鈮，

本文編號：1378505