本文關(guān)鍵詞：非線性系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性及暗方程研究　出處：《華東師范大學(xué)》2017年博士論文　論文類(lèi)型：學(xué)位論文

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【摘要】：本文基于符號(hào)計(jì)算軟件Maple,利用對(duì)稱(chēng)性理論、相容Riccati方程展開(kāi)法(CRE方法)、優(yōu)化系統(tǒng)直接構(gòu)造方法以及高階對(duì)稱(chēng)延拓理論,研究了數(shù)學(xué)物理方程中若干非線性模型的相關(guān)問(wèn)題,主要包含以下三方面的內(nèi)容:若干非線性偏微分方程非局域?qū)ΨQ(chēng)及精確解的構(gòu)造;優(yōu)化系統(tǒng)的分類(lèi);暗方程的分類(lèi)及遞推算子的構(gòu)造.具體章節(jié)安排如下:第一章緒論部分,介紹了本文研究?jī)?nèi)容的理論背景和發(fā)展現(xiàn)狀,包括對(duì)稱(chēng)理論、優(yōu)化系統(tǒng)、暗方程以及符號(hào)計(jì)算,并闡明了本論文的選題和主要工作.第二章,首先分別基于Darboux變換和Painleve截?cái)嗾归_(kāi)法構(gòu)造了 Kaup-Kupershmidt(KK)方程的非局域?qū)ΨQ(chēng)和留數(shù)對(duì)稱(chēng),并通過(guò)引入輔助變量,成功地將非局域?qū)ΨQ(chēng)局域化,利用經(jīng)典Lie群理論求解擴(kuò)大系統(tǒng)的Lie點(diǎn)對(duì)稱(chēng),并通過(guò)有限變換和相似約化給出了原系統(tǒng)孤立波與橢圓周期波等相互作用解;其次,利用相容Riccati方程展開(kāi)法,求得了 AB系統(tǒng)的一些新的精確解.第三章,基于構(gòu)造一維優(yōu)化系統(tǒng)的直接算法,研究了 2 + 1維Wu-Zhang(WZ)方程Lie對(duì)稱(chēng)群的一維優(yōu)化分類(lèi)問(wèn)題,構(gòu)造了 WZ方程的優(yōu)化系統(tǒng),并通過(guò)相似約化得到了十五類(lèi)1 + 1維完整且不等價(jià)的約化系統(tǒng),不僅包括經(jīng)典的Boussinesq方程和WZ方程的穩(wěn)態(tài)形式,還包括一些Painleve可積的方程.第四章,基于Kupershmidt暗KdV方程的定義和分類(lèi),首先,在高階微分形式對(duì)稱(chēng)存在的假設(shè)下,通過(guò)線性延拓得到了暗修正KdV(MKdV)方程的完整分類(lèi),得到了十二類(lèi)不等價(jià)的暗MKdV系統(tǒng).與暗KdV方程比較,每一類(lèi)暗MKdV方程都含有自由參數(shù),當(dāng)自由參數(shù)固定時(shí),其中九類(lèi)暗MKdV方程正好是暗KdV方程作合適的Miura變換的結(jié)果,而另外三類(lèi)不能通過(guò)調(diào)整自由參數(shù)的值,由暗KdV方程通過(guò)Miura變換求得.其次,對(duì)暗方程的定義進(jìn)行了推廣,通過(guò)線性非齊次延拓得到了含有更多自由參數(shù)的推廣的暗MKdV方程的不等價(jià)分類(lèi).通過(guò)選取合適的自由參數(shù),推廣的暗MKdV方程恰好可以退化到所有齊次延拓的暗MKdV方程.另外,分別選取暗MKdV方程和推廣的暗MKdV方程其中兩類(lèi),推導(dǎo)了它們的遞推算子.第五章,對(duì)全文工作進(jìn)行了簡(jiǎn)要的總結(jié)和討論,并對(duì)接下來(lái)將要研究的工作做了進(jìn)一步展望.
[Abstract]:This paper is based on the symbolic computing software Maple, using symmetry theory, consistent Riccati equation expansion method, optimization system direct construction method and high-order symmetric continuation theory. In this paper, the related problems of some nonlinear models in mathematical physics equations are studied, including the following three aspects: the construction of nonlocal symmetry and exact solutions of some nonlinear partial differential equations; Optimizing the classification of the system; The classification of dark equations and the construction of recursive operators. The specific chapters are arranged as follows: the first chapter introduces the theoretical background and development of the content of this paper, including symmetry theory, optimization system. Dark equation and symbolic calculation, and clarify the topic of this paper and the main work. Chapter two. Firstly, the nonlocal symmetry and residue symmetry of Kaup-Kupershmidt KK) equation are constructed based on Darboux transform and Painleve truncation expansion method, respectively. By introducing auxiliary variables, the nonlocal symmetry is successfully localized, and the classical Lie group theory is used to solve the Lie point symmetry of the extended system. The interaction solutions of solitary wave and elliptic periodic wave of the original system are given by finite transformation and similarity reduction. Secondly, some new exact solutions of AB system are obtained by using consistent Riccati equation expansion method. Chapter 3, based on the direct algorithm of constructing one-dimensional optimization system. In this paper, the one-dimensional optimization classification problem of Lie symmetric group for 21 dimensional Wu-Zhang WZ) equation is studied, and the optimization system of WZ equation is constructed. Through similarity reduction, we obtain 15 classes of 11 dimensional complete and non-equivalent reduced systems, including not only the classical Boussinesq equation and the steady state form of WZ equation. It also includes some Painleve integrable equations. Chapter 4th, based on the definition and classification of Kupershmidt dark KdV equation, firstly, under the hypothesis of the existence of higher order differential form symmetry. The complete classification of dark modified KDV MKdV) equations is obtained by linear extension, and 12 classes of non-equivalent dark MKdV systems are obtained, which are compared with dark KdV equations. Each kind of dark MKdV equation contains free parameters. When the free parameter is fixed, nine kinds of dark MKdV equations are the result of the appropriate Miura transformation of the dark KdV equation. The other three types can not be obtained by adjusting the values of free parameters by Miura transformation. Secondly, the definition of dark equation is generalized. By linear inhomogeneous extension, we obtain the non-equivalent classification of the extended dark MKdV equation with more free parameters, and select appropriate free parameters. The generalized dark MKdV equation can degenerate to all homogeneous continuation dark MKdV equations. In addition, dark MKdV equation and generalized dark MKdV equation are selected respectively. Their recursive operators are derived in Chapter 5th, and the work of this paper is briefly summarized and discussed, and the future work to be studied is prospected.
【學(xué)位授予單位】：華東師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類(lèi)號(hào)】：O175;O152.5

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本文編號(hào)：1368024