本文關(guān)鍵詞：算術(shù)級數(shù)中Maass尖形式在指數(shù)和中的估計　出處：《山東大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：自守形式的傅里葉系數(shù)是一類非常重要的算術(shù)函數(shù),其生成的L-函數(shù)有很多深刻的性質(zhì)。例如谷山豐和志村五郎提出的谷山志村猜想,建立了自守形式中的模形式與橢圓曲線之間的聯(lián)系,后來懷爾斯證明了此猜想,進而證明了費馬大定理。因此,對自守形式傅里葉系數(shù)的研究一直是數(shù)論中的熱門問題。在解析數(shù)論中,研究算術(shù)函數(shù)在算術(shù)級數(shù)中的漸進分布也是一個非常有趣并且有深刻意義的問題。譬如,如果我們把素數(shù)的特征函數(shù)看為一類算術(shù)函數(shù),研究算術(shù)級數(shù)中的此算術(shù)函數(shù)分布對于研究哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)猜想都有很重要的意義。最近,張益唐改進了素數(shù)在算術(shù)級數(shù)中平均分布的一個結(jié)果,進而在孿生素數(shù)問題上做出了突破性進展。本文我們主要研究的是算術(shù)級數(shù)中的Maass尖形式的傅里葉系數(shù)扭乘上指數(shù)函數(shù)的分布問題。Maass尖形式作為非全純的自守形式,其傅里葉系數(shù)的性質(zhì)與全純的模形式有很多不同。著名的Ramanujan-Petersson猜想說,每一個尖形式的第n個傅里葉系數(shù)的上界不會超過n∈對任意的∈0都成立。在模形式的情形下,此猜想由Deligne在1974年的論文[7]中證明。但是在Maass尖形式的情形下,這依然是一個開放性的問題,現(xiàn)在的最好結(jié)果是Kim和Sarnak的論文[22]中得到的上界n7/64+∈。盡管Ramanujan-Petersson猜想在此Maass尖形式下依然沒有被證明,但是我們可以看到此猜想在平均意義下是成立的。令λg(n)是SL(2,Z)上面的Maass尖形式g的第n個傅里葉系數(shù),我們有如下的估計[12]：從上式可以看出平均意義下我們甚至可以得到更好的上界估計,這說明Maass尖形式的傅里葉系數(shù)有很強的的震蕩性,通過研究傅里葉系數(shù)震蕩性可以對其性質(zhì)有更深刻的理解。為了更好的研究傅里葉系數(shù)的震蕩性,我們往往考慮其扭乘上指數(shù)函數(shù)的均值估計。也就是說,我們考慮如下的指數(shù)和：其中0≠α∈R, 0≤β≤1, e(x)=e2πix, n～X表示Xn≤2X。當上式中α與β的取值不同時會有不同的估計,可參見[33][34][36]。在本文中,我們把此問題推廣到算術(shù)級數(shù)情形,期望可以看到算術(shù)級數(shù)中Maass尖形式的傅里葉系數(shù)與指數(shù)函數(shù)的共振現(xiàn)象。下面令λg(n)是SL(2,Z)上面Maass尖形式g的第n個傅里葉系數(shù)。我們將研究如下的指數(shù)和估計其中0≠α∈R,0≤β≤1, e(x)=e2πix。首先,當|α|βXβ的值較小時,在第三章中我們可以得到S(X)的一個上界估計：定理0.1 令λg(n)為正規(guī)化的SL(2,Z)上Hecke-Maass尖形式的第n個Fourier系數(shù),其Laplace算子特征值為1/4+r2。令X1,0β1,0≠α∈R。令l,q∈N,l≤q≤X1/2。如果那么我們有注意到在q=1時的特殊情況下,我們的問題和Sun-Wu的問題是一樣的。此時,我們應(yīng)用[25]中關(guān)于傅里葉系數(shù)八次均值的結(jié)果來代替單個傅里葉系數(shù)的上界,可以看到當q=1時,定理0.1余項中X的階為X1027/2827,從而改進了[36]結(jié)果中的X71/192。當|α|βXβ的值較大時,會有不同的情況產(chǎn)生。在第四章中,我們將證明下面四個定理。首先,當β≠1/2時,我們依然可以得到S(X)的一個上界：定理0.2 在上述條件下,如果那么我們有其次,當β=1/2時,我們對|α|的取值進行討論�？梢钥吹�,當|α|的取值較大或者較小時,我們會得到S(X)的上界估計。當|α|的取值合適的時候,我們會得到S(X)的一個漸進公式：定理0.3 在定理0.1的條件下下,如果且β=1／2,當|α|1/q或者|α|(?)/q時,我們有當時,我們有其中上式中δc=1或者0取決于是否存在一個正整數(shù)nc,其中c|q且滿足我們特別指出,當|α|=2(?)/q時,可以得到一個類似于[38]結(jié)果中的通項公式,此時可以看到共振現(xiàn)象的發(fā)生。定理0.4 在定理0.1的條件下,如果存在某個k∈N且kX/4,使得|α|=2(?)/q,那么(1.4)等于注意到這里關(guān)于q和k=的階與[38]結(jié)果中的階是一致的。在證明定理0.1-定理0.4的過程中,我們主要是采用[33]和[36]的思想。在證明過程中用的主要工具包括指數(shù)和的估計,Voronoi公式等。由于加法特征的正交性,我們在應(yīng)用Voronoi求和公式后會得到Kloosterman和,此時應(yīng)用Weil關(guān)于Kloosterman和的上界估計去得到q方面的節(jié)余,從而得到類似于(1.4)中的主項。在證明過程中,由于我們處理的情況更為一般,所以在參數(shù)的選擇上我們會做一些改進,使得改進后的參數(shù)選取適更為適合。另外,當β=1/2,且α與2(?),k∈Z+相差不大時,我們可以看到共振現(xiàn)象的發(fā)生,這同樣也可以看做是[33]結(jié)果的推廣。最后,考慮當Ramanujan猜想成立的情況下,或者說對于全純的模形式,我們可以得到如下結(jié)果定理0.5 假設(shè)Ramanujan猜想2.1成立,或者說假設(shè)g為一全純的尖形式,λg(n)是g的第n個傅里葉系數(shù),其他條件不變,那么我們有(i)如果式(1.5)變?yōu)?ii)如果且盧=1/2,當|α|1/q或者|α|(?)/q時,我們有當時,我們有(iii)如果|α|=2(?)/q,其中k∈N且kX/4,那么式(1.9)變?yōu)?br/>[Abstract]:In this paper , we can see this conjecture as a kind of arithmetic function . Let 位 g ( n ) be an upper bound of S ( X ) . When 尾 鈮，

本文編號：1360114