本文關(guān)鍵詞：局部間斷Galerkin方法的誤差估計(jì)　出處：《南京大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：發(fā)展型對(duì)流擴(kuò)散方程具有廣泛的應(yīng)用背景,相應(yīng)的數(shù)值求解方法研究一直備受關(guān)注。局部間斷有限元(Local discontinuous Galerkin,簡(jiǎn)稱LDG)方法是目前非常流行的數(shù)值方法之一,具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性和高階精度。在本論文中,我們將考慮典型的一維和二維對(duì)流擴(kuò)散方程,建立相應(yīng)LDG方法的豐滿階誤差估計(jì)。主要結(jié)論包括兩個(gè)內(nèi)容。其一是數(shù)值流通量的具體設(shè)置更具一般性。換言之,我們將考慮廣義的交替型數(shù)值流通量。其二是“雙豐滿”的局部誤差估計(jì)。論文共分七章。第一章是對(duì)流擴(kuò)散方程及其LDG方法的簡(jiǎn)要回顧,最后一章是總結(jié)和展望。余下五章是本文的主體,具體內(nèi)容如下：在第二章,我們將考慮一維的線性對(duì)流擴(kuò)散問題,并假設(shè)相應(yīng)的真解在全局區(qū)域上是充分光滑的�；趶V義交替數(shù)值流通量,我們將證明相應(yīng)的LDG方法依舊具有豐滿階的整體L2模誤差估計(jì)。為此,我們將采用最新發(fā)展起來的一個(gè)整體投影,稱之為廣義Gauss-Radau (GGR)投影,給出完整的理論證明。在這個(gè)過程中,我們完善了GGR投影的最優(yōu)逼近性質(zhì)對(duì)投影函數(shù)所需的光滑性要求。在第三章,我們將前面的工作推廣到二維對(duì)流擴(kuò)散問題的LDG方法研究。為簡(jiǎn)單起見,設(shè)有限元空間是基于矩形網(wǎng)格的雙k次分片多項(xiàng)式空間。若LDG方法采用廣義的交替型數(shù)值流通量,我們將理論證明其依舊具有豐滿階的整體L2模誤差估計(jì)。證明的主要工具依舊是二維的GGR投影,但是維數(shù)的增加,使得我們?cè)谡`差估計(jì)中,不能將單元邊界誤差消去,也不能利用內(nèi)部單元的投影正交性。為此,我們需要建立二維GGR投影對(duì)于整體DG空間離散算子的超收斂性質(zhì)。同原始的局部Gauss-Radau投影相比,該結(jié)論的證明路線具有明顯的區(qū)別。從第四章開始,我們將討論LDG方法的局部誤差估計(jì)。第四章考慮具有邊界層的一維奇異攝動(dòng)問題。由于真解在狹窄的邊界層內(nèi)呈現(xiàn)出大梯度的急劇變化,前面的整體誤差估計(jì)失去理論指導(dǎo)價(jià)值。為了突出LDG方法的數(shù)值求解優(yōu)勢(shì),我們需要開展相應(yīng)的局部分析。本文的目標(biāo)是建立LDG方法的“雙最優(yōu)”誤差估計(jì)結(jié)果。換言之,受到邊界層影響的污染區(qū)域具有擬最優(yōu)的寬度,并且污染區(qū)域外的L2模誤差依舊是豐滿的。為完成相關(guān)證明,我們需要引進(jìn)一個(gè)特殊的權(quán)函數(shù),開展相應(yīng)的帶權(quán)能量分析。關(guān)鍵技術(shù)主要有三。其一是,借用局部L2投影技術(shù),建立相應(yīng)的加權(quán)L2模穩(wěn)定性；其二是,利用Dirichlet邊界條件下的GGR投影技術(shù)；其三是,利用真解的正則性假設(shè),具體設(shè)置權(quán)函數(shù)中的參數(shù)。在第五章,我們考慮一維奇異攝動(dòng)問題的全離散LDG方法,其中時(shí)間采用二階和三階全變差不增的顯式Runge-Kutta方法。分析的關(guān)鍵是對(duì)時(shí)間離散信息的有效控制。由于穩(wěn)定性機(jī)制略有不同,基于上述兩種時(shí)間離散技術(shù)的LDG全離散方法,具有明顯不同的局部誤差估計(jì)過程。在第六章,我們考慮二維奇異攝動(dòng)問題LDG方法的“雙最優(yōu)”局部誤差估計(jì),其中我們采用了具有完全交替數(shù)值流通量的半離散LDG方法。此時(shí)分析的關(guān)鍵是建立二維GR投影的加權(quán)超收斂性質(zhì)。
[Abstract]:The development type convection diffusion equation has a wide application background, and the corresponding numerical solution research has been paid much attention. Local discontinuous Galerkin (LDG) is one of the most popular numerical methods at present. It has good numerical stability and high-order accuracy. In this paper, we will consider the typical one and two dimensional convection diffusion equations and establish the full order error estimates for the corresponding LDG method. The main conclusions include two contents. One is that the specific setting of numerical circulation is more general. In other words, we will consider the generalized alternating numerical flow. The second is the local error estimation of "double plump". The paper is divided into seven chapters. The first chapter is a brief review of the convection diffusion equation and its LDG method, and the last chapter is a summary and prospect. The remaining five chapters are the main body of this paper. The details are as follows: in the second chapter, we will consider the one-dimensional linear convection diffusion problem, and assume that the corresponding true solutions are sufficiently smooth in the global region. Based on the generalized alternating numerical flow, we will prove that the corresponding LDG method still has the overall L2 modulus error estimation of the full order. To this end, we will use the latest development of a global projection, called the generalized Gauss-Radau (GGR) projection, and give a complete theoretical proof. In this process, we have perfected the requirement of the smoothness required by the optimal approximation property of the GGR projection to the projection function. In the third chapter, we generalize the previous work to the LDG method for the two-dimensional convection diffusion problem. For simplicity, the finite element space is a double K subdivision polynomial space based on a rectangular grid. If the LDG method uses a generalized alternating numerical flow, we will prove that the theory still has the overall L2 modulus error estimation of the full order. The main tool of the proof is the two-dimensional GGR projection. However, the increase of dimension makes it impossible to eliminate the unit boundary error and to use the projection orthogonality of the internal element in error estimation. For this reason, we need to establish the superconvergence property of the two-dimensional GGR projection for the discrete operator of the whole DG space. Compared with the original local Gauss-Radau projection, the proof of the conclusion is distinctly different. Starting from the fourth chapter, we will discuss the local error estimation of the LDG method. In the fourth chapter, one dimensional singular perturbation problem with boundary layer is considered. As the true solution changes sharply in the narrow boundary layer, the overall error ahead is estimated to lose the theoretical guidance value. In order to highlight the numerical solution advantages of the LDG method, we need to carry out the corresponding local analysis. The aim of this paper is to establish the "double optimal" error estimation results of the LDG method. In other words, the contaminated area affected by the boundary layer has the quasi optimal width, and the L2 mode error outside the contaminated area is still plump. In order to complete the relevant proof, we need to introduce a special weight function to carry out the corresponding weighted energy analysis. There are three key technologies. One is to use the local L2 projection technique to establish the corresponding weighted L2 module stability. The second is to use the GGR projection technology under the Dirichlet boundary condition, and the third is to set the parameters in the weight function by assuming the regularity of the real solution. In the fifth chapter, we consider the fully discrete LDG method for one dimensional singularly perturbed problem, in which the time adopts the explicit Runge-Kutta method that does not increase the two order and the three order total variation. The key of the analysis is the effective control of the time discrete information. Because the stability mechanism is slightly different, the LDG full discrete method based on the two time discrete techniques mentioned above has obviously different local error estimation. In the sixth chapter, we consider the "double optimal" local error estimate of LDG method for two-dimensional singularly perturbed problem. We use semi discrete LDG method with completely alternating numerical flux. The key of this analysis is to establish the weighted superconvergence property of the two-dimensional GR projection.
【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82

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本文編號(hào)：1340217