彈性碰撞振子和相關(guān)模型的周期解和Lagrange穩(wěn)定性
發(fā)布時(shí)間：2017-12-24 00:35
本文關(guān)鍵詞：彈性碰撞振子和相關(guān)模型的周期解和Lagrange穩(wěn)定性 出處：《蘇州大學(xué)》2015年博士論文 論文類型：學(xué)位論文
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【摘要】：本文討論彈性碰撞振子和相關(guān)模型的周期解和Lagrange穩(wěn)定性.碰撞振子是非線性振動(dòng)和非光滑Hamilton系統(tǒng)的重要模型之一,它們和Fermi-Ulam加速器問(wèn)題、對(duì)偶臺(tái)球問(wèn)題、金屬斷裂學(xué)和天體力學(xué)穩(wěn)定性等相關(guān)連,其動(dòng)態(tài)行為的研究有助于這些問(wèn)題的理解.文章有三個(gè)主要部分.一、證明了次線性Hamilton碰撞振子的彈性周期解的存在性.對(duì)于平面的Hamilton方程或者是Hamilton碰撞振子,Pioncare-Birkhoff扭轉(zhuǎn)定理是證明方程存在周期解或無(wú)窮多次調(diào)和解的一個(gè)基本工具.在證明中關(guān)鍵的一步是在相平面上構(gòu)造滿足扭轉(zhuǎn)條件的環(huán)域.當(dāng)方程是次線性時(shí),其對(duì)應(yīng)的相平面上的扭轉(zhuǎn)比較弱,需要考慮其Poincare映射的若干次迭代,才能產(chǎn)生足夠的扭轉(zhuǎn).但這樣多次迭代的副作用是可能有解會(huì)跑向原點(diǎn)而導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)角度無(wú)法估計(jì).與已有的相應(yīng)無(wú)碰撞振子的研究不一樣,我們分析了解的盤旋性質(zhì),采用“后繼映射”的方法分析碰撞振子的解的扭轉(zhuǎn)性.在符號(hào)條件下我們給出了一個(gè)一般性的定理.然后通過(guò)細(xì)致的相平面分析把定理應(yīng)用到次二次線性碰撞振子和弱次二次碰撞振子上.同時(shí),我們也對(duì)不符合符號(hào)條件并且后繼映射無(wú)定義的擺型碰撞振子進(jìn)行了研究.我們引進(jìn)新的坐標(biāo)變換把右半平面上的碰撞問(wèn)題轉(zhuǎn)換到除原點(diǎn)以外的全平面上,再研究相應(yīng)Pioncare映射的扭轉(zhuǎn)性.二、討論了擬周期碰撞振子的解的有界性(Lagrange穩(wěn)定性)問(wèn)題.作為Moser型的光滑的擬周期小扭轉(zhuǎn)映射的不變曲線存在定理的應(yīng)用,我們分別討論了次線性、有界、半線性擬周期碰撞振子的解的有界性(Lagrange穩(wěn)定性)問(wèn)題.首先,我們把碰撞問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具有中心對(duì)稱向量場(chǎng)的Hamilton系統(tǒng).為克服其角函數(shù)的不光滑性我們交換了時(shí)間變量和角變量,通過(guò)積分、磨光等方法把問(wèn)題光滑化,再通過(guò)一系列坐標(biāo)變換把它化為可積Hamilton系統(tǒng)的小擾動(dòng)問(wèn)題.與非碰撞問(wèn)題相比我們必須保持變換后的Hamilton系統(tǒng)的向量場(chǎng)仍中心對(duì)稱,所以我們用一定的技巧使其在每一次坐標(biāo)變換中保持對(duì)稱性.最后由其Pioncare映射的不變曲線的存在性得到擬周期碰撞振子的解的有界性.三、討論了無(wú)碰撞的奇異方程在共振點(diǎn)處的無(wú)界擾動(dòng)的周期解的存在性,并應(yīng)用到相應(yīng)的徑向?qū)ΨQ方程的周期解和擬周期解的研究上一定的奇異碰撞問(wèn)題可能不存在碰撞解,但無(wú)碰撞的奇異方程的研究與高維的徑向?qū)ΨQ方程相關(guān).對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)是無(wú)界的奇異共振方程,傳統(tǒng)的估計(jì)其Poincare映射的方法失效,因此我們對(duì)其后繼映射進(jìn)行細(xì)致的相平面分析估計(jì),然后用拓?fù)涠壤碚撟C明方程的周期解的連續(xù)統(tǒng)的存在性.相應(yīng)地就得到了徑向?qū)ΨQ方程周期解和擬周期解的存在性.我們同時(shí)也給出了在共振點(diǎn)處不存在周期解的徑向?qū)ΨQ方程的例子.
【學(xué)位授予單位】：蘇州大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O322;O302
【參考文獻(xiàn)】
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1 ;Invariant tori for asymptotically linear impact oscillators[J];Science in China(Series A:Mathematics);2006年05期
2 ;Positive quasi-periodic solutions to Lotka-Volterra system[J];Science China(Mathematics);2010年05期
3 王志國(guó);阮春蘭;錢定邊;;次線性碰撞振子次調(diào)和彈性解的存在性和多解性問(wèn)題(英文)[J];南京大學(xué)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)半年刊;2010年01期
，本文編號(hào)：1326176
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