本文關(guān)鍵詞：應(yīng)用雙線性方法求兩類非線性偏微分方程的一些精確解　出處：《西北大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：關(guān)于Hirota雙線性方法研究非線性偏微分方程是非線性數(shù)學(xué)物理特別是孤立子理論最前沿的研究課題之一。本文研究應(yīng)用Hirota雙線性方法以及作為對(duì)Hirota雙線性方法進(jìn)行推廣得到的廣義雙線性方法建立了兩類非線性偏微分方程,即：非線性波方程和非線性熱傳導(dǎo)方程的精確解。在深入討論應(yīng)用Hirota雙線性方法聯(lián)合其他技術(shù)得到三種不同的非線性波方程的精確解之后,指出一類目前還無法用Hirota雙線性方法求解的非線性熱傳導(dǎo)型方程。然后,本文在廣義雙線性方法基礎(chǔ)上,獨(dú)立發(fā)展了一些求解技術(shù),給出了這些非線性熱傳導(dǎo)型方程的多波解。本文主要工作如下：第一,使用Hirota雙線性方法和恰當(dāng)?shù)慕粨Q公式,本文得到一類七階的KdV方程的雙線性B(?)cklund變換。在此基礎(chǔ)上,使用規(guī)范變換以及符號(hào)計(jì)算技術(shù),得到了另外三種雙線性B(?)cklund變換。我們稱最后一種為修正的雙線性B(?)cklund變換,通過應(yīng)用修正的雙線性B(?)cklund變換和截?cái)喾?可以得到原方程新的N孤子解。第二,使用Hirota雙線性方法以及朗斯基行列式技術(shù),本文給出并證明了一種水波方程擁有雙朗斯基行列式解的一個(gè)充分條件。從涉及矩陣的特征值分類入手,我們解得對(duì)應(yīng)方程的一系列孤子解、有理解、Matveev解和complexiton解。上述各種解充分體現(xiàn)出所研究的非線性方程的精確解具有多樣性。這里使用的解的分類的方法和思想,有助于研究更多非線性偏微分方程的雙朗斯基行列式解構(gòu)造和雙朗斯基行列式的解分類問題。第三,基于Bell多項(xiàng)式理論并引入輔助變?cè)?獲得了合適的變換,可用于得到七階KdV方程對(duì)應(yīng)的Hirota雙線性形式,并且計(jì)算出它們的多孤子解。眾所周知,比較容易為階數(shù)低的非線性偏微分方程建立對(duì)應(yīng)的Hirota雙線性形式；而色散項(xiàng)和非線性項(xiàng)在階數(shù)高的非線性偏微分方程中往往比較復(fù)雜,建立對(duì)應(yīng)的Hirota雙線性形式困難得多。本文方法展示了Bell多項(xiàng)式理論可以用于構(gòu)造高階方程對(duì)應(yīng)的Hirota雙線性形式。我們還進(jìn)一步用黎曼θ函數(shù)推導(dǎo)出了前述方程的一些周期波解。第四,我們研究一類熱傳導(dǎo)型方程。我們使用前面的各種方法,并且查閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)：這類熱傳導(dǎo)型方程目前不能轉(zhuǎn)化為Hirota雙線性形式。但是這類熱傳導(dǎo)型方程卻具有廣義雙線性的形式。可見,推廣的雙線性方法確實(shí)能研究非平凡的熱傳導(dǎo)型方程。為了計(jì)算這些方程對(duì)應(yīng)的多波解,本文拓展了雙線性方程求解方法,發(fā)展了一些新的求解技術(shù),最終給出了上述方程的新的多波解。這表明以推廣的雙線性方法為基礎(chǔ),這些熱傳導(dǎo)型方程的新的多波解的確能夠建立。
【學(xué)位授予單位】：西北大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O175.29

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：1322853