本文關(guān)鍵詞：隨機波動率模型下的計時期權(quán)定價問題　出處：《吉林大學》2017年博士論文　論文類型：學位論文

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【摘要】：在金融市場中,波動率衍生品一般是基于波動率直接產(chǎn)生的金融產(chǎn)品,例如ⅤⅨ期權(quán),方差互換,波動率互換等.計時期權(quán)作為一種創(chuàng)新型波動率金融衍生品在金融市場中出現(xiàn)較晚.2007年,法國興業(yè)銀行(Societe Generale)的投資部首先推出認購計時期權(quán)并開始在金融市場中交易.計時期權(quán)的一個特點是投資者可以通過預判股價或指數(shù)未來的波動趨勢進而設定關(guān)于累積波動率的閾值,在預先設定的閾值下利用波動率衍生品進行金融市場對沖等金融交易活動.另一特點是計時期權(quán)的定價問題需要確定停時和波動率的聯(lián)合分布,因為當實際波動率累積達到預先設定水平值時,期權(quán)持有者執(zhí)行期權(quán),因此執(zhí)行時間是個隨機變量.與傳統(tǒng)的歐式、美式期權(quán)等基礎衍生品相比,計時期權(quán)提供了一種更為有效、更為純粹的控制標的資產(chǎn)風險暴露的方法.因此,計時期權(quán)產(chǎn)品不僅可以作為一種獲取標的資產(chǎn)收益的重要方法,同時也是控制標的資產(chǎn)的波動率風險的有效工具之一.在本論文中,我們考慮Hull-White模型下計時期權(quán)的定價問題,解決此問題的關(guān)鍵為在求解析解過程中確定高維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù).目前關(guān)于一些特殊的奇異期權(quán),如障礙期權(quán)、亞式期權(quán)等可以找到定價核或者轉(zhuǎn)移概率,而在我們考慮的問題中,由于模型的復雜性給計時期權(quán)定價求解帶來了一定難度.在期權(quán)定價問題中,經(jīng)典的Black-Scholes公式給出了標準歐式認購期權(quán)的價格如下:其中標的資產(chǎn)價格S服從幾何布朗運動,N為標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù),本文我們利用Hull-White模型來刻畫標的資產(chǎn)價格及其隨機波動率過程,即在風險中性概率測度Q下,假設標的資產(chǎn)價格St及其方差過程vt滿足如下的隨機微分方程其中r為無風險利率,k為方差過程的風險收益率,σ是方差過程的波動率,WtS與Wtv為兩個相關(guān)系數(shù)為ρ的標準布朗運動.第三章中,我們針對上述模型,以經(jīng)典的Black-Scholes-Merton型定價公式為基礎,利用二維的Feynman-Kac定理,通過時間變換技術(shù)將模型轉(zhuǎn)換為標準的Bessel過程,根據(jù)Bessel過程的相關(guān)性質(zhì),利用修正Bessel函數(shù)從概率方法出發(fā)給出永久式計時期權(quán)解析形式的定價公式.為此,我們首先給出關(guān)于計時期權(quán)定價的相關(guān)變量,累積實際方差停時τB和累積實際方差量It,命題1 設x=lnS.則永久計時期權(quán)的價格函數(shù)滿足下面偏微分方程,定理1 考慮二維隨機微分方程,假設U(I,x,v)滿足(0.0.2)且具有邊界條件U(B,x,v)=h(x),則永久計時期權(quán)的期權(quán)價格函數(shù)U(I,x,v∈ C1,2,2可以表示為如下形式其中根據(jù)定理1,我們利用時間變換技術(shù)轉(zhuǎn)換模型由x和v轉(zhuǎn)化為X和z的隨機過程,進一步得到下面的定理結(jié)果.定理2 假設則關(guān)于永久認購計時期權(quán)有下面的條件Black-Scholes-Merton型定價公式進一步假設pzB,(?)B,τB(z,h,g)是關(guān)于(zB,(?)B,τB)的聯(lián)合密度函數(shù),則與之前的方法相比,我們找到了拉普拉斯變換下三維變量的聯(lián)合密度函數(shù),利用拉普拉斯逆變換我們得到帶有隨機波動率的閉型解析公式,而閉型解有很多優(yōu)點尤其是在計算效率方面具有優(yōu)勢.我們在這一章中,還給出一類特殊期權(quán)的定價公式,我們考慮在T執(zhí)行時刻具有支付函數(shù)其中Ⅱ為示性函數(shù).則在初始時刻的期權(quán)價格函數(shù)U其中利用Bessel過程的相關(guān)性質(zhì)得到聯(lián)合密度函數(shù)且其中推論1假設對數(shù)化的標的資產(chǎn)價格x和隨機波動率v滿足Hull-White隨機波動率模型,期權(quán)的支付函數(shù)為U(T)=(ST-K)+ⅡτBT.則一類特殊的期權(quán)價格函數(shù)U有條件期望展式(0.0.6),且聯(lián)合密度函數(shù)為(0.0.7)式.從上面的求解過程和定價公式來看,利用Bessel過程給出的定價公式可有效應對連續(xù)時間條件下隨機波動率下的期權(quán)定價問題.在第三章的數(shù)值實驗部分,通過對聯(lián)合密度函數(shù)的參數(shù)分析,得到Hull-White模型下計時期權(quán)的解析公式特別地適用波動率的波動較小的市場狀態(tài).為了進一步研究,考慮交割時刻為τB∧T的一般情形,在第三章中Bessel過程的性質(zhì)是我們得到永久計時期權(quán)閉型解析解的關(guān)鍵,但此時求解問題增加了難度,所以在第四章,我們從量子力學角度出發(fā),在路徑積分框架下,利用薛定諤(Schrodinger)方程,在新的角度下求解一般情形的計時期權(quán)的定價問題,同時也給出路徑積分方法下的永久計時期權(quán)的解析定價公式.由Schrodinger方程得到關(guān)于z的Langrange函數(shù)引理1在[0,B]區(qū)間,對 進行指數(shù)積分,則存在λ0,使得P(zB,τB|z0,0)有下面表示根據(jù)上述引理1,我們得到轉(zhuǎn)移概率其中g(shù)(u;B)為g((?)∈du)的Laplce逆變換,Mm,n(x)是Kummer函數(shù).則另外有其中同理我們也可得到T為執(zhí)行時刻的U2的表達式,首先利用變量代換從xT,vT變量變換到XT,ξT.然后利用Feynman路徑積分方法有ξ的Langrange函數(shù)引理2在[0,T]區(qū)間,對L[ξ,ξ]進行指數(shù)積分,則根據(jù)上述引理2,我們得到轉(zhuǎn)移概率其中其中Dμ+1是柱形拋物函數(shù).則定理3假設期權(quán)的執(zhí)行時間為τB∧T,執(zhí)行時刻的期權(quán)價格為U(τB∧T,xτB∧T)=max(exτB∧T-K,0),則在t=0時刻的期權(quán)價格函數(shù)其中U1有(0.0.11)展開式其轉(zhuǎn)移概率為(0.0.9)和U2有(0.0.15)展開式其轉(zhuǎn)移概率為(0.0.14),且P(τT)和P(τBT)可由(0.0.12)得到.定理4在Hull-White模型下,假設執(zhí)行價格為K,方差預算為B,則永久認購計時期權(quán)價格為其中且轉(zhuǎn)移概率P(zB,τB|z0,0)為引理1,g(u;B)由(0.0.10)得到.
【學位授予單位】：吉林大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：F224;F830.9

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本文編號：1319345