本文關(guān)鍵詞：非線性剛性延遲微分方程的隱顯多步方法

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【摘要】：延遲常微分方程是一類基本的數(shù)學(xué)模型,還可由時滯偏微分方程經(jīng)空間離散后得到,其右端函數(shù)經(jīng)�？梢苑至褳閮刹糠�,一部分包含有剛性,另一部分沒有剛性。為兼顧穩(wěn)定性和計算效率的要求,可考慮采用隱顯方法求解,即用隱式方法離散其中的剛性部分,用顯式方法離散其中的非剛性部分,可明顯減少計算量。本文研究了四個問題:求解非線性剛性初值問題的隱顯單支方法的誤差分析、求解剛性延遲微分方程的隱顯單支方法的穩(wěn)定性與誤差分析、求解捕食者-食餌時滯擴散模型的隱顯多步有限元方法的誤差分析以及一類帶分布時滯的反應(yīng)擴散方程精確解和數(shù)值解的穩(wěn)定性分析。數(shù)值結(jié)果顯示我們提出的隱顯單支方法非常有效,特別對于半線性剛性(延遲)微分方程,不需要求解非線性代數(shù)方程組。首先,針對滿足單邊Lipschitz條件的非線性剛性初值問題及一類奇異攝動初值問題,提出了由隱式單支方法組合顯式單支方法而成的隱顯單支方法,給出了此方法的階條件,構(gòu)造了有效的具體算法,并獲得了相應(yīng)的誤差分析結(jié)果。進一步地,將隱顯單支方法用于求解剛性延遲微分方程,克服解的導(dǎo)數(shù)具有間斷性所導(dǎo)致的困難,我們證明了隱顯單支方法關(guān)于初值擾動是穩(wěn)定的且2階收斂的。接著,我們考慮了兩類隱顯多步有限元方法求解捕食者-食餌時滯擴散模型,即在空間上采用有限元方法離散,而時間上分別采用隱顯單支方法和隱顯線性多步方法離散�？朔獾臅r間偏導(dǎo)數(shù)具有間斷性所導(dǎo)致的困難,得到了方法的收斂性結(jié)果O(?t~2+h~(r+1))。最后,研究了一類帶分布時滯的反應(yīng)擴散方程的精確解和數(shù)值解的穩(wěn)定性,獲得了精確解的散逸性和關(guān)于初值擾動的漸近穩(wěn)定性結(jié)果,并證明了用單支θ-方法求解此方程所得的數(shù)值解保持了原問題的散逸性和關(guān)于初值擾動的漸近穩(wěn)定性。
【學(xué)位授予單位】：湘潭大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.81

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本文編號：1290324