本文關(guān)鍵詞：幾類(lèi)圖的特征多項(xiàng)式和譜的研究

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【摘要】：圖的譜理論是代數(shù)圖論的主要研究領(lǐng)域之一,涉及圖的譜,拉普拉斯譜以及無(wú)符號(hào)拉普拉斯譜等.圖的譜起源于量子化學(xué).1931年,E.H¨uckel提出了分子軌道理論,建立了分子軌道能級(jí)和分子圖的譜之間的聯(lián)系,推動(dòng)了圖譜理論研究.L.Collatz和U.Sinogowitz的數(shù)學(xué)論文“Spektren Endhcher Grafen”(1957)被視為圖譜理論研究的開(kāi)端,經(jīng)過(guò)50多年的發(fā)展,它已經(jīng)成為代數(shù)圖論中的一個(gè)研究熱點(diǎn),在圖論,物理,量子化學(xué),計(jì)算機(jī)科學(xué),互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)等方面許多有廣泛的應(yīng)用.圖的譜理論主要是利用矩陣論,多項(xiàng)式理論,結(jié)合組合論和圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì)研究圖的各種矩陣的譜,討論譜與圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì)及圖的相應(yīng)不變量之間的關(guān)系.因此,確定圖的譜是圖譜理論中的一個(gè)基本問(wèn)題.基于此本文研究了幾類(lèi)化學(xué)圖及根積圖的譜,并用譜確定了圖的一些相關(guān)參數(shù).全文共分為五章,具體結(jié)構(gòu)如下:第一章主要介紹了圖譜理論的研究背景,接著引入了本文所用到的符號(hào)與概念.隨后對(duì)問(wèn)題的研究背景以及問(wèn)題的研究進(jìn)展作了概述.最后介紹了本文的主要結(jié)果.第二章首先給出了單層六角環(huán)鏈(Fn)和單層M¨obius六角環(huán)鏈(Mn)的L-多項(xiàng)式,由此確定了它們的L-譜.其次,利用這兩類(lèi)六角系統(tǒng)的L-譜分別給出了它們的拉普拉斯能量的表達(dá)式,并且確定了拉普拉斯能量的上界,有趣的是它們的拉普拉斯能量的上界都接近于六角形個(gè)數(shù)的六倍.第三章我們對(duì)H_(3,n),H_(3,n)~r,H_(3,n)~b這三類(lèi)六角系統(tǒng)的譜做了研究.首先給出了H_(3,n)的特征多項(xiàng)式,確定了它的譜半徑,特征值±1的重?cái)?shù),Kek¨ule結(jié)構(gòu)和零度.其次,我們用一個(gè)含有參數(shù)的塊矩陣寫(xiě)出了H_(3,n)~b的鄰接矩陣和H_(3,n)~r的鄰接及拉普拉斯矩陣,用矩陣論工具分別得到了H_(3,n)~b的鄰接特征多項(xiàng)式以及H_(3,n)~r的鄰接和拉普拉斯特征多項(xiàng)式.第四章首先給出了特征多項(xiàng)式的一個(gè)分解定理,即,GR S(σ,k)圖的特征多項(xiàng)式可被表達(dá)為k個(gè)加權(quán)的k-圈-σ子圖的特征多項(xiàng)式的乘積.其次,利用這個(gè)定理分別給出了柱面上的六角網(wǎng)格和8.8.4網(wǎng)格的特征多項(xiàng)式.第五章首先給出了一個(gè)連通圖與路做根積的圖的鄰接譜,并得到了特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量,其次利用特征向量的結(jié)構(gòu)性質(zhì),我們構(gòu)造了具有n不同特征值的圖的無(wú)窮類(lèi),以及構(gòu)造了具有n不同特征值且都是主特征值圖的無(wú)窮類(lèi).最后,我們對(duì)這類(lèi)圖的Q-譜也做同樣的研究,若原圖G是非二部圖,對(duì)G與路做根積圖,那么也可以得到具有上述兩種性質(zhì)的圖的無(wú)窮類(lèi).
【學(xué)位授予單位】：新疆大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類(lèi)號(hào)】：O157.5

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本文編號(hào)：1286919