本文關(guān)鍵詞：基于偏拉普拉斯分布的若干分位數(shù)回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷

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【摘要】：自Koenker and Bassett(1978)以來,分位數(shù)回歸模型已成為探索因變量與自變量之間關(guān)系的重要工具。由于能夠同時(shí)考察因變量對(duì)自變量在多個(gè)分位數(shù)水平上的依賴關(guān)系,分位數(shù)回歸比均值回歸或中位數(shù)回歸能夠提供更全面的信息,也更加穩(wěn)健,該回歸模型已在各個(gè)領(lǐng)域有了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。本文旨在研究基于偏拉普拉斯分布的若干分位數(shù)回歸模型的參數(shù)估計(jì)問題,這些模型包括分位數(shù)回歸、截尾分位數(shù)回歸、有限混合分位數(shù)回歸以及帶有變點(diǎn)的中位數(shù)回歸模型。涉及若干統(tǒng)計(jì)算法,包括非迭代抽樣算法、隨機(jī)EM算法、以及有限混合模型的Gibbs抽樣算法等。所考慮算法能避免傳統(tǒng)算法的有關(guān)缺點(diǎn),并在模擬和實(shí)例分析中都有較好的表現(xiàn)。1.分位數(shù)回歸模型的非迭代抽樣算法考慮如下線性分位數(shù)回歸模型(?)其中yi為響應(yīng)變量,xi為p×1協(xié)變量,βq為p維感興趣的未知參數(shù)向量,εi為隨機(jī)誤差項(xiàng),要求其q階分位數(shù)為零。于是,給定xi,βq為yi的q階條件分位數(shù)回歸系數(shù)。βq的分位數(shù)估計(jì)使下式達(dá)最小(?)(?)(?)其中ρq(u)=u{q-I(u0)}為損失函數(shù),這里I(·)表示示性函數(shù)。下面引入偏拉普拉斯分布ALD(0,σ,q),其密度函數(shù)為(?)(?)由于最小化S(βq)等價(jià)于最大化以ALD(0,σ,q)為誤差分布的線性回歸模型的似然函數(shù),所以ALD(0,σ,q)通常用來刻畫分位數(shù)回歸中誤差項(xiàng)εi的分布。近年來,基于ALD(0,σ,q)誤差假設(shè)及其位置尺度混合表示,關(guān)于分位數(shù)回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷方法有了訊速發(fā)展,如 Reed and Yu(2009)以及 Kozumi and Kobayashi(2011)的 Gibbs抽樣算法,Tian et al.(2014)和 Zhou et al.(2014)的 EM 算法。在貝葉斯框架下,Yu and Stander(2007)研究了 tobit分位數(shù)回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷,Benoit and Van den Poel(2012)則發(fā)展了二值分位數(shù)回歸模型的推斷方法。盡管EM算法是在缺失結(jié)構(gòu)下尋找最大似然估計(jì)(MLE)或后驗(yàn)眾數(shù)的有力工具,對(duì)于這種基于似然的推斷方法依然有很多挑戰(zhàn),比如Meng and Rubin(1991)提到的多參數(shù)下估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤問題,討厭參數(shù)問題,中小樣本下MLE的漸進(jìn)理論未必適用問題等。由于其靈活性和易實(shí)施性,Gibbs抽樣和其他馬氏鏈蒙特卡洛方法(MCMC)被廣泛用于貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷,但這些迭代抽樣算法有其缺陷,實(shí)際應(yīng)用中容易被忽視。其一,由迭代的MCMC抽樣產(chǎn)生的樣本很難做到獨(dú)立;其二,很難確信迭代終止時(shí)抽取的馬氏鏈?zhǔn)欠襁_(dá)到收斂。Tan et al.(2003)提出了一種缺失數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)下基于逆貝葉斯公式(IBF)的非迭代抽樣算法,該算法可從后驗(yàn)分布中產(chǎn)生(近似)獨(dú)立同分布(i.i.d.)的樣本,該樣本可直接用于貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷,從而該方法避免了 EM算法和Gibbs抽樣的缺點(diǎn)。受Tanet al.(2003)啟發(fā),在第一章中,我們將IBF的思想應(yīng)用到分位數(shù)回歸模型中去,發(fā)展了相應(yīng)的非迭代后驗(yàn)抽樣算法。首先,將ALD表示為正態(tài)分布的方差-均值混合,其中混合變量服從指數(shù)分布,將該變量視為潛變量,獲得添加的后驗(yàn)預(yù)測(cè)分布。然后,用EM算法所得后驗(yàn)眾數(shù)作為初始估計(jì)獲得最佳的重點(diǎn)抽樣密度(ISD)。最后,將IBF算法與抽樣/重點(diǎn)再抽樣(SIR)算法結(jié)合起來,產(chǎn)生來自觀測(cè)后驗(yàn)分布的近似獨(dú)立同分布的樣本。數(shù)值模擬和實(shí)例分析顯示,該非迭代算法比EM算法和迭代的Gibbs抽樣表現(xiàn)要好。2.截尾分位數(shù)回歸模型的隨機(jī)EM算法在第二章,我們發(fā)展了處理分位數(shù)回歸及截尾分位數(shù)回歸模型的隨機(jī)EM算法,該算法能避免EM算法和Gibbs抽樣的一些缺點(diǎn)。模擬結(jié)果顯示,該算法不遜于Gibbs抽樣,而在非缺失的情形下,優(yōu)于EM算法。最后,我們用該算法分析了經(jīng)典的Engel食物消費(fèi)數(shù)據(jù)和帶截尾的勞動(dòng)力供應(yīng)數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)與Gibbs抽樣相比,SEM算法的表現(xiàn)更令人滿意。3.有限混合分位數(shù)回歸模型的Gibbs抽樣算法在回歸分析里,有限混合線性回歸模型已被廣泛用來刻畫混在一起的不同組別中因變量度對(duì)自變量的依賴關(guān)系。但通常對(duì)不同組內(nèi)的誤差作正態(tài)性假設(shè),該假設(shè)對(duì)重尾數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)中的異常值很敏感。與混合線性(正態(tài))回歸相比,混合分位數(shù)回歸模型更加穩(wěn)健,且通過研究不同分位數(shù)下不同組別中因變量與因變量的相依關(guān)系,該模型能夠更加全面地描述自變量對(duì)因變量的影響。文獻(xiàn)中,最早處理混合分位數(shù)回歸模型的是Wu and Yao(2016),在他們的文章中,作者提出了一種半?yún)?shù)混合分位數(shù)回歸模型,對(duì)誤差項(xiàng)未作任何假設(shè),發(fā)展了一種基于核密度估計(jì)的半?yún)?shù)EMI算法來估計(jì)參數(shù)。隨后,Tian et al.(2016)考慮了基于偏拉普拉斯誤差假設(shè)的混合分位數(shù)回歸模型,并發(fā)展了易于實(shí)施的EM算法。盡管EM算法是處理缺失數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),獲得最大似然估計(jì)(MLE)或后驗(yàn)眾數(shù)的有力工具,但求所得估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤卻并非易事,特別是在多參數(shù)的場(chǎng)合。當(dāng)樣本量很大時(shí),基于最大似然估計(jì)的漸進(jìn)正態(tài)性,一般可用觀測(cè)的信息陣的逆矩陣的對(duì)角元的平方根來估計(jì)該標(biāo)準(zhǔn)誤,但對(duì)于中等或很小的樣本量來說,該漸進(jìn)理論未必合適。受Tian et al.(2016)啟發(fā),在論文第三章里,我們從貝葉斯的角度探討了有限混合分位數(shù)回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷問題。利用ALD的分層表示以及多項(xiàng)分布的分組變量,在很弱的先驗(yàn)設(shè)定下,我們導(dǎo)出了 Gibbs抽樣中所到用的滿條件分布。該Gibbs抽樣策略的每一步都很清楚,且易于實(shí)施。與EM算法相比,該算法的優(yōu)勢(shì)是可以利用Gibbs樣本對(duì)參數(shù)做統(tǒng)計(jì)推斷并評(píng)價(jià)其標(biāo)準(zhǔn)差。模擬顯示,在不同的數(shù)據(jù)生成機(jī)制和分位數(shù)水平下,該算法所得估計(jì)有相對(duì)很小的偏差和均方誤差。最后,我們用該策略分析了兩組實(shí)際數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)與混合正態(tài)(均值)回歸相比,該策略對(duì)數(shù)據(jù)中的異常值很穩(wěn)健,同時(shí)能夠更全面系統(tǒng)地描述不同組別中因變量對(duì)協(xié)變量的依賴關(guān)系。4.基于拉普拉斯回歸模型的穩(wěn)健變點(diǎn)估計(jì)在第四章中,我們提出了基于拉普拉斯回歸的穩(wěn)健回歸系數(shù)變點(diǎn)模型,并借助拉普拉斯分布的正態(tài)混合表示,發(fā)展了估計(jì)變點(diǎn)位置的EM算法和Schwarz信息準(zhǔn)則(SIC)。模擬發(fā)現(xiàn)該方法對(duì)誤差分布很穩(wěn)健,能夠有效地估計(jì)變點(diǎn)位置。最后,我們有分析了一組股票市場(chǎng)數(shù)據(jù),并發(fā)現(xiàn)了一個(gè)潛在的變點(diǎn)。
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O212.1

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