本文關(guān)鍵詞：表示環(huán)及其雙Frobenius代數(shù)結(jié)構(gòu)

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【摘要】：表示環(huán)作為monoidal范疇的不變量,在monoidal范疇的研究上日益發(fā)揮重要作用,目前已經(jīng)受到人們的廣泛關(guān)注.本文主要研究代數(shù)閉域上有限維Hopf代數(shù)的表示環(huán)的若干結(jié)構(gòu)與性質(zhì),特別利用表示環(huán)上的雙線性型研究表示環(huán)的Frobenius'性質(zhì).作為該性質(zhì)的應(yīng)用,我們研究表示環(huán)的一類商環(huán)上的Frobenius代數(shù)與Frobenius余代數(shù)結(jié)構(gòu),從表示環(huán)角度給出雙-Frobenius代數(shù)的構(gòu)造.首先,我們在有限維Hopf代數(shù)的表示范疇上引入量子跡的概念,利用量子跡回答了Cibils曾經(jīng)提出的一個(gè)問題：何時(shí)平凡模會(huì)出現(xiàn)在兩個(gè)不可分解模的張量積分解式中?然后我們借助于幾乎可裂序列給出量子跡為0的有限維不可分解模的一些等價(jià)描述,并揭示這些不可分解模在表示環(huán)中的地位與作用.其次,利用態(tài)射空間的維數(shù),我們在有限維Hopf代數(shù)的表示環(huán)上定義了一個(gè)結(jié)合、非退化的Z-雙線性型.在該雙線性型框架下,我們研究表示環(huán)的一些性質(zhì)與結(jié)構(gòu),包括表示環(huán)的Frobenius性質(zhì)的研究,表示環(huán)的一些單邊理想的研究,表示環(huán)的冪零根與冪等元的研究等.再次,我們研究有限維Hopf代數(shù)的穩(wěn)定范疇的表示環(huán)一一穩(wěn)定表示環(huán).我們證明穩(wěn)定表示環(huán)與表示環(huán)模去所有投射模得到的商環(huán)同構(gòu).借助于該同構(gòu),表示環(huán)上的雙線性型可以誘導(dǎo)到穩(wěn)定表示環(huán)上去.一般而言,誘導(dǎo)的雙線性型不再是非退化的,我們給出誘導(dǎo)雙線性型非退化性的一些等價(jià)刻畫,并在誘導(dǎo)雙線性型非退化的條件下證明穩(wěn)定表示環(huán)具有類群代數(shù)與雙-Frobenius代數(shù)結(jié)構(gòu).另外,當(dāng)Hopf代數(shù)為spherical Hopf代數(shù)時(shí),我們研究表示環(huán)模去所有量子維數(shù)為0的對象得到的商環(huán).我們證明該商環(huán)可以視為表示范疇的一類商范疇的表示環(huán).當(dāng)spherical Hopf代數(shù)為有限表示型代數(shù)時(shí),該商環(huán)同樣具有類群代數(shù)與雙-Frobenius代數(shù)結(jié)構(gòu).最后,作為例子我們研究了一類Radford Hopf代數(shù)的表示環(huán),我們給出了表示環(huán)、Grothendieck環(huán)以及穩(wěn)定表示環(huán)的生成子與生成關(guān)系,并且完全描述了表示環(huán)的冪零根與冪等元.特別地,該Hopf代數(shù)的穩(wěn)定表示環(huán)具有雙-Frobenius代數(shù)結(jié)構(gòu),我們從多項(xiàng)式代數(shù)的角度給出了該雙-Frobenius代數(shù)的具體描述.
【學(xué)位授予單位】：揚(yáng)州大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O153.3

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本文編號：1263371