本文關(guān)鍵詞：幾乎相等的華林—哥德巴赫問題及相關(guān)問題

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【摘要】：華林-哥德巴赫問題研究將滿足某些同余條件的正整數(shù)表示為素數(shù)冪之和的可能性,即對于充分大的正整數(shù)N,方程N(yùn)=p1k+p2k+…+psk的可解性,其中p1…,ps是素數(shù).一個著名的猜測是說當(dāng)s≥k+1時該問題是可解的.這個猜想的證明非常困難,目前還沒有辦法解決.事實上,當(dāng)k=1,s=2時,這就是著名的哥德巴赫猜想.令H(k)表示使上述方程可解的s的最小值.1937年,Vinogradov[66]證明了對于每一個充分大的奇數(shù),H(1)≤3.2013年,這一問題被Helfgott[18,19]徹底解決,即對所有大于等于9的奇數(shù)都有H(1)≤ 3.對于非線性的華林-哥德巴赫問題,華羅庚在[20]中進(jìn)行了系統(tǒng)地研究,得到H(k)≤2k+1對于所有k≥1都成立.對于k≤3,這是迄今為止最好的結(jié)果.華羅庚還考慮了這一問題的例外集問題.記Ek,s(N)表示不超過N的滿足某些局部同余條件但是不能表示為s個素數(shù)的k次冪之和的正整數(shù)個數(shù).華羅庚證明了E3.s(N)《NL-A對于任意的A0及5≤s≤8都成立.2000年,任秀敏[57]將s=5的結(jié)果改進(jìn)為E3,s(N)N152/153+s.之后,Kawada,Kumchev和Wooley都研究了這一問題(參見[31,32,70]).目前最好的結(jié)果是趙立璐[72]證明的：P3,5=1/12-ε,ρ3,6=1/4-εp3,7=1/2-ε,p3,8=5/6-ε.對于k=4,Davenport[10]證明了H(4)≤ 15.在[30]中,Kawada和Wooley將結(jié)果改進(jìn)為14.最近,趙立璐[72]將這一結(jié)果進(jìn)一步改進(jìn)為13.當(dāng)10≤s≤12時,Kumchev[32]考慮了該問題的例外集并得到：E4,s(N)《N1-p4,s,其中p4,10=3887/56832-εp4,11=14543/56832-ε,p4,12=15727/56832-ε.當(dāng)k≥5時,關(guān)于H(k),目前最好的結(jié)果是：H(5)≤21(Kawada和Wooley[30]), H(6)≤32(趙立璐[72]),H(7)≤46(Krumchev[33]),H(8)≤63(Thanigasalam[62]).此外,許多數(shù)學(xué)家也研究了適當(dāng)限制條件下的華林-哥德巴赫問題,其中幾乎相等的華林-哥德巴赫問題是受關(guān)注較多的一類問題.具體來說,該問題研究方程V=p1k+…+psk, pi-(N/S)1/k≤N1/k-θk,s,1≤的可解性,其中θks∈(0,1/k).關(guān)于該類問題,以前的工作主要集中在k≤3的情形.當(dāng)k=1時,首先考慮這類問題的是Haselgrove[15],他證明了θ1,3=1/64.許多數(shù)學(xué)家都對這一問題做過進(jìn)一步研究(參見[8,22,23,24,25,26,27,28,53,55,71]).目前最好的結(jié)果是Baker和Harman[1]得到的:θ1,3=3/7.當(dāng)k=2時,劉建亞和展?jié)齕40]最先考慮了這一問題.后來,Bauer和王永輝[2,3,4],劉建亞,呂廣世和展?jié)齕39,42,43,46,47]等都對這一問題進(jìn)行了研究.2012年,Kumchev和李太玉[35]得到了目前最好的結(jié)果θ2,5=1/18-ε.當(dāng)k=3時,孟憲萌[50]首先證明了在廣義黎曼假設(shè)的條件下,θ3.9=1/1981-ε.之后,呂廣世和徐云飛[49]證明了上述結(jié)果無條件成立.2012年,李太玉[36]將這一結(jié)果改進(jìn)為θ3,9=1/90-ε.對于4≤k≤10,孫慶峰和唐恒才[58]證明了θk,2k+l=1/2k(k-1)22k-2+2k-ε.在本文中,我們研究了(0.1)當(dāng)3≤k≤10時的情形,改進(jìn)了以上結(jié)果.我們的主要結(jié)果如下：定理1設(shè)3≤k≤10,記1/k(k-1)2k+k-ε當(dāng)3≤k≤ 7時,1/4k2(k-1)(k-2)+k-ε,當(dāng)8≤k≤10時.則對于每一個足夠大的滿足局部同余條件的正整數(shù)N,方程N(yùn)=p1k+…+p[2k+1k pi-(N/2k+1)1/k≤N1/k-可解.注意當(dāng)k=3時,定理1的結(jié)論蘊(yùn)含著θ3,9=1/51-ε.當(dāng)4≤k≤10時,我們改進(jìn)了孫慶峰和唐恒才[58]的結(jié)果.關(guān)于(0.1)的可解性,當(dāng)2k-1+1≤s≤2k時,我們不能證明類似定理1的全表性結(jié)果,只能考慮例外集問題.在本文中,我們研究了當(dāng)k=3和k=4時的情形.引入記號Ik,s(N,Y)=[N-Y,N+Y].設(shè)Eks(N,Y)表示集合Ik,s(N,Y)中滿足局部同余條件但是不能表示為(0.1)的正整數(shù)個數(shù),其中2k-1+1≤s≤2k.我們證明存在θs∈(0,1/k),使得對于任一給定的ε0,有當(dāng)k=3時,劉志新和孫慶峰[45]首先考慮了這一問題并得到θ3.s=s-4/6(s+12),其中5≤s≤8.王勿匆[64]將這一結(jié)果改進(jìn)為θ3,s=s-4/15s.2012年,李太玉[36]證明了θ3,5=1/48,θ3,6=1/36,θ3,7=1/33.本文證明了如下結(jié)果：定理2對于k=3,5≤s≤8,(0.2)對于如下的θ3,s成立：θ3,5=7/261-2ε,θ3,6=5/159-ε,θ3,7=11/333-ε,θ3,8=19/561-ε當(dāng)k=4時,唐恒才和趙峰[59]對于9≤s≤13的情形進(jìn)行了研究并且得到了θ4,s=s-8/8(s+88).注意對于k=4,我們并不能證明當(dāng)14≤s≤16時,對充分大的N,(0.1)是可表的.孫慶峰和唐恒才[58]證明了當(dāng)s=17時,(0.1)可解.因此,我們考慮當(dāng)9≤s≤16時的例外集問題.本文中我們證明了如下結(jié)果：定理3 當(dāng)k=4,9≤s≤16時,(0.2)對于如下的θ4.s成立：本文考慮的第二個問題是與球內(nèi)整點有關(guān)的素數(shù)分布問題.球內(nèi)整點問題是數(shù)論中的重要問題.Vinogradov[68]和陳景潤[7]分別獨立地證明了上式余項中x的指數(shù)被Charmizo和Iwaniec[6]改進(jìn)為29/44,Heath-Brown[17]將這一結(jié)果進(jìn)一步改進(jìn)為21/32.在[12]中,Friedlander和Iwaniec證明了郭汝庭和翟文廣[14]進(jìn)一步證明了對于任意給定的A0,其中C3和I3分別是該問題中的奇異級數(shù)和奇異積分.由上式可以得到在[5]中,Calderon和Velasco研究了與除數(shù)函數(shù)有關(guān)的球內(nèi)整點問題并證明了郭汝庭和翟文廣[14]將上述結(jié)果改進(jìn)為S(x)=2C1I1x3logx(C1I2+C2I1)x3+O(x8/3+ε),其中Ci,Ii(1=1,2)是常數(shù).趙立璐[73]將上式中的余項進(jìn)一步改進(jìn)為x2log7x.在本文中,我們研究了該問題的幾乎相等問題：其中y=xθ,θ∈(0,1].本文的主要結(jié)果如下：定理4對于θ≥1/2+2s,我們有漸近公式其中定理5對θ≥6/7+ε,我們有在這一部分,我們還考慮了幾乎相等的三個整數(shù)的平方和表素數(shù)的問題.這一問題可以確切地表述為其中y=xδ(06≤1).我們證明了如下結(jié)果：定理6設(shè)δ≥26/35+2ε.則對于任意的A0,其中6是由(1.6)定義的奇異級數(shù).定理7設(shè)y=xδ,滿足26/35+2ε≤δ≤1.定義那么,對于任意的A0,我們有其中
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O156

【參考文獻(xiàn)】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前9條

1 劉建亞,展?jié)?Sums of five almost equal prime squares II[J];Science in China,Ser.A;1998年07期

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8 陳景潤;;IMPROVEMENT ON THE ASYMPTOTIC FORMULAS FOR THE NUMBER OF LATTICE POINTS IN A REGION OF THE THREE DIMENSIONS (Ⅱ)[J];Science in China,Ser.A;1963年06期

9 潘承洞;堆壘素數(shù)論的一些新結(jié)果[J];數(shù)學(xué)學(xué)報;1959年03期

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本文編號：1147222