本文關(guān)鍵詞：奇異攝動(dòng)問題的多尺度高效數(shù)值模擬研究

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【摘要】：科學(xué)計(jì)算是與理論研究、科學(xué)試驗(yàn)并重的三大主要科學(xué)研究方式,其重要性日益突顯.奇異攝動(dòng)問題的攝動(dòng)參數(shù)很小時(shí)導(dǎo)致失去邊界條件,面對(duì)大量多尺度邊界層現(xiàn)象往往無法有效求解,因此研究其高效數(shù)值模擬有重要意義.多尺度問題及其方法是現(xiàn)今科學(xué)計(jì)算的重點(diǎn)和熱點(diǎn),人們?cè)谟?jì)算精度和計(jì)算代價(jià)之間尋找合理平衡的解決途徑,一直在探索既能夠保證計(jì)算精度、又可以節(jié)約計(jì)算資源的新數(shù)值方法來處理復(fù)雜多尺度問題.本博士論文的內(nèi)容安排如下：第一章介紹奇異攝動(dòng)問題和現(xiàn)行的多尺度計(jì)算方法,闡述數(shù)值計(jì)算結(jié)合自適應(yīng)技術(shù)的重要意義,并給出文中所需的記號(hào)、定義和重要不等式.第二章給出相關(guān)理論分析,分別探討傳統(tǒng)有限元解與多尺度有限元解的存在性和收斂性.第三章以一維對(duì)流擴(kuò)散方程為對(duì)象,研究多尺度有限元法處理奇異攝動(dòng)問題的數(shù)值模擬優(yōu)勢(shì).利用原問題的微分算子構(gòu)造子問題求解多尺度基函數(shù),能在宏觀尺度有效地反映出微觀信息,進(jìn)而通過有限元格式得到有效的數(shù)值模擬.考慮基于誤差估計(jì)的自適應(yīng)型網(wǎng)格,構(gòu)建特殊的Shishkin、Graded、Bakhvalov網(wǎng)格,通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)展現(xiàn)出多尺度有限元法精確的、高效的計(jì)算優(yōu)勢(shì).第四章以二維反應(yīng)擴(kuò)散方程為對(duì)象,探究Galerkin、Petrov-Galerkin多尺度有限元格式的高效數(shù)值逼近.通過理論分析,證明了多尺度有限元解的穩(wěn)定性和收斂性.不同于Galerkin格式,Petrov-Galerkin多尺度格式給出獨(dú)立構(gòu)建的試探函數(shù)空間與檢驗(yàn)函數(shù)空間,從而提供更豐富的多尺度基函數(shù)嵌入選擇.無論針對(duì)常系數(shù)問題還是變系數(shù)問題,在自適應(yīng)型的計(jì)算網(wǎng)格上無需特殊技巧,我們的方法能自動(dòng)消除多尺度共振誤差,在粗網(wǎng)格上就得到不依賴于攝動(dòng)系數(shù)ε大小的、一致高階收斂的高效數(shù)值模擬.第五章針對(duì)時(shí)空間強(qiáng)振蕩的拋物型方程,建立與時(shí)間相關(guān)的全離散化多尺度計(jì)算格式,通過多尺度基函數(shù)自動(dòng)反映出問題本身的強(qiáng)振蕩性.采用Euler向后差分隱格式,形成并求解大規(guī)模方程組,因此僅在粗網(wǎng)格運(yùn)算、所需的計(jì)算存儲(chǔ)量和計(jì)算時(shí)間都大為縮減,其數(shù)值優(yōu)勢(shì)益發(fā)明顯.本文已得到了一些有意義的理論和數(shù)值結(jié)果,今后還將在后驗(yàn)誤差構(gòu)造高效能計(jì)算格式、多相流問題的多尺度有限元計(jì)算、數(shù)值程序包的并行化運(yùn)算和模塊化集成等方面繼續(xù)開展研究.
【關(guān)鍵詞】：多尺度計(jì)算 多尺度有限元方法 奇異攝動(dòng) 邊界層現(xiàn)象 強(qiáng)振蕩模擬 對(duì)流擴(kuò)散模型 反應(yīng)擴(kuò)散模型 時(shí)空間拋物型問題 特殊網(wǎng)格
【學(xué)位授予單位】：揚(yáng)州大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 中文摘要6-8
• Abstract8-12
• 第一章 奇異攝動(dòng)問題和自適應(yīng)多尺度方法介紹12-20
• 1.1 奇異攝動(dòng)問題12-13
• 1.2 自適應(yīng)技術(shù)13-14
• 1.3 多尺度計(jì)算方法14-20
• 第二章 相關(guān)理論分析20-34
• 2.1 傳統(tǒng)有限元收斂性分析20-26
• 2.2 多尺度有限元收斂性分析26-34
• 第三章 一維對(duì)流擴(kuò)散模型的多尺度方法34-42
• 3.1 模型問題與變分形式34-36
• 3.2 多尺度基函數(shù)36-37
• 3.3 特殊網(wǎng)格構(gòu)建37-38
• 3.4 多尺度有限元的數(shù)值方法38-42
• 第四章 二維反應(yīng)擴(kuò)散模型的多尺度逼近42-70
• 4.1 模型問題與特殊網(wǎng)格42-44
• 4.2 Galerkin多尺度有限元逼近44-54
• 4.3 Petrov-Galerkin多尺度有限元逼近54-62
• 4.4 變系數(shù)反應(yīng)擴(kuò)散方程的多尺度數(shù)值模擬62-70
• 第五章 時(shí)空間強(qiáng)振蕩拋物型方程的多尺度高效模擬70-78
• 5.1 強(qiáng)振蕩的拋物型問題70-73
• 5.2 時(shí)間相關(guān)的全離散多尺度格式73-74
• 5.3 多尺度有限元的高效模擬和數(shù)值優(yōu)勢(shì)74-78
• 參考文獻(xiàn)78-86
• 在學(xué)期間發(fā)表文章目錄86-87
• 簡歷87-88
• 致謝88-89

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本文編號(hào)：1050623