發(fā)布時(shí)間：2018-02-24 18:39

  本文關(guān)鍵詞： 遞歸效用函數(shù) 平均場(chǎng)正倒向隨機(jī)微分方程 Ekeland變分原理 完全耦合的平均場(chǎng)正倒向隨機(jī)微分方程　出處：《山東大學(xué)》2017年碩士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：Peng[1]在1998年提出一個(gè)重要的公開(kāi)問(wèn)題:"除了一些特殊情形,當(dāng)f非線性依賴于z時(shí)相應(yīng)的全局最大值原理是一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題"。[2]和[3]研究了這個(gè)公開(kāi)問(wèn)題,但是他們所得到的最大值原理仍包含未知參數(shù)。公開(kāi)問(wèn)題的主要難點(diǎn)在于倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)記為BSDE)的生成元f(x,y,z,u)是非線性依賴于z的,這是無(wú)論在理論還是實(shí)際生活中都存在的一種典型狀態(tài)。2015年Hu[4]最終解決了這個(gè)歷時(shí)已久的公開(kāi)問(wèn)題。在Hu[4]的基礎(chǔ)上,本文將結(jié)論推廣至平均場(chǎng)情形,并考慮了完全耦合的部分可觀測(cè)的平均場(chǎng)隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題。本文主要分為兩部分。第一部分,我們研究帶遞歸效用函數(shù)的平均場(chǎng)最優(yōu)控制問(wèn)題的隨機(jī)最大值原理。我們得到了帶遞歸效用函數(shù)的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)記為MFBSDE)的變分方程,且得到了新的最大值原理�？刂朴虿槐貫橥骨襇FBSDE的生成元可包含z。我們考慮如下?tīng)顟B(tài)方程:帶遞歸效用的平均場(chǎng)隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題為在可容許控制集μ[0,T]上最小化(2)式中的代價(jià)泛函J(u(·)),即找到最優(yōu)控制u,使得我們的目的是得到最小化代價(jià)泛函時(shí),最優(yōu)控制u(·)所能滿足的條件。我們的主要思想是利用Ekeland變分原理以及相應(yīng)的伴隨方程得到最優(yōu)控制的必要條件。本部分的主要難點(diǎn)在于:(1)如何得到MFBSDE的二階變分方程的具體形式(與[15]不同)。(2)關(guān)于z的變分方程的二次形式導(dǎo)致二階伴隨方程十分復(fù)雜。第二部分我們考慮了一種完全耦合的正倒向隨機(jī)系統(tǒng)的部分可觀測(cè)的平均場(chǎng)隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題。在正向擴(kuò)散系數(shù)不包含控制變量且控制域不必為凸的假設(shè)下,由Ekeland變分原理并利用針狀變分法,我們得到龐特里亞金型的最大值原理,并且相關(guān)的伴隨過(guò)程為平均場(chǎng)情形下的正倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)記為FBSDE)的解。而完全耦合的正倒向隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題的一般最大值原理仍是一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題。我們定義如下代價(jià)泛函:當(dāng)系數(shù)滿足Lipschitz條件、可積性條件和G-單調(diào)性條件時(shí),方程(5)存在唯一解,其中正向擴(kuò)散系數(shù)不包含控制。我們應(yīng)用Ekeland變分原理及相應(yīng)的伴隨方程得到完全耦合情形下的部分可觀測(cè)的平均場(chǎng)隨機(jī)最大值原理。
[Abstract]:In 1998, Peng [1] put forward an important open problem: "except for some special cases, the corresponding global maximum principle when f nonlinear depends on z is an open problem." [2] and [3]. But their maximum principle still contains unknown parameters. The main difficulty of the open problem is that the generator of backward stochastic differential equation (BSDE) is nonlinear dependent on z. In 2015, Hu [4] finally solved this long-lasting open problem. On the basis of Hu [4], the conclusion is extended to the case of mean field. The stochastic optimal control problem of partially observable mean field is considered. This paper is divided into two parts. In this paper, we study the stochastic maximum principle for the mean field optimal control problem with recursive utility function. We obtain the variational equations of the mean field backward stochastic differential equation (MFBSDE) with recursive utility function. A new maximum principle is obtained. The control domain need not be convex and the generator of MFBSDE can contain z. we consider the following equation of state: the stochastic optimal control problem of mean field with recursive utility is minimized on the admissible control set 渭 [0T]. When we find the optimal control u, our aim is to obtain the minimized cost functional. Our main idea is to obtain the necessary condition of optimal control by using the Ekeland variational principle and the corresponding adjoint equation. The main difficulty of this part is how to get the second order variation of MFBSDE. The quadratic form of the variational equation for z (different from [15]) makes the second order adjoint equation very complicated. In the second part, we consider the partially observable plane of a fully coupled forward backward stochastic system. Under the assumption that the forward diffusion coefficient does not contain control variables and the control domain does not have to be convex, By using the Ekeland variational principle and the needle-like variational method, we obtain the maximum value principle of the Ponterria-gold type. And the associated adjoint process is the solution of forward backward stochastic differential equation (FBSDE) in the case of mean field. The general maximum principle of fully coupled forward backward stochastic optimal control problem is still an open problem. The following cost functional is defined: when the coefficient satisfies the Lipschitz condition, For the integrability condition and G-monotonicity condition, the equation has a unique solution. The forward diffusion coefficient does not contain control. By using the Ekeland variational principle and the corresponding adjoint equations we obtain the partially observable stochastic maximum principle of the mean field in the case of complete coupling.
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O232

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本文編號(hào)：1531306