本文關(guān)鍵詞： 積分微分方程 分數(shù)階系統(tǒng) 穩(wěn)定性 等效電路模型 Lyapunov方法 復路徑積分法　出處：《山東大學》2017年碩士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：積分微分方程是一類有效的建模工具,對積分微分模型性質(zhì)的研究可以增進對系統(tǒng)的深刻了解,并可通過分析積分微分方程的穩(wěn)定性來指導系統(tǒng)的預測和控制等。但由于積分微分方程種類繁雜、形式差異大,且相對缺少現(xiàn)成的分析方法或?qū)崿F(xiàn)技術(shù),從而在一定程度上限制了其在系統(tǒng)科學領(lǐng)域的應(yīng)用。因此,積分微分模型穩(wěn)定性的分析以及模型的數(shù)字與模擬實現(xiàn),將為復雜系統(tǒng)建模、控制性能優(yōu)化和故障診斷等提供可靠保障,具有重要的現(xiàn)實意義。本文針對幾類典型的積分微分方程進行了詳細的描述并給出了若干典型的積分微分方程的解法。其中,將具有弱奇性核函數(shù)的類型歸于分數(shù)階(非整數(shù)階)積分微分方程。與整數(shù)階模型相比,分數(shù)階模型具有更豐富的可調(diào)參數(shù),能夠更精確地描述模型,并對揭示自然界中普遍存在的分數(shù)階現(xiàn)象至關(guān)重要。因此,針對這種帶有弱奇性核函數(shù)的積分微分方程的研究具有一定的前沿性和應(yīng)用價值。穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的基本要求之一,也是保證系統(tǒng)正常工作的基本條件。然而,穩(wěn)定性研究是積分微分方程課題中的一個難點,即使是線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析仍然存在一定的難度,特別是Lyapunov方法這一積分微分方程穩(wěn)定性研究中十分重要的方法,對于分數(shù)階積分微分方程要找到其Lyapunov函數(shù)比較困難,尤其是非線性方程。本文首先給出了整數(shù)階情況下的Lyapunov分析方法,并且分別分析了一維和多維兩種不同情況,之后又給出了分數(shù)階Caputo形式情況下的Lyapunov分析方法,為分數(shù)階積分微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析提供了理論支持。在分數(shù)階電路中,用積分微分方程對其進行建模不僅可以得到電路中變量的時域解,還可以利用Lyapunov方法分析電路的穩(wěn)定性問題,以及進行時頻域分析,這對分數(shù)階等效電路模型的研究十分重要。然而,由于探索Lyapunov函數(shù)是一個艱巨的任務(wù),即使是在線性時不變的分數(shù)階微分系統(tǒng)中,利用Lyapunov方法來研究分數(shù)階等效電路模型的穩(wěn)定性問題也是十分困難的。因此,尋找一種簡單有效的分數(shù)階電路的穩(wěn)定性分析方法顯得尤為重要。本文引入了分數(shù)階穩(wěn)定性分析方法,并將其運用于生物醫(yī)學中的分數(shù)階等效電路模型,并且提出了一種路徑積分方法來分析分數(shù)階電路的穩(wěn)定性問題。如果直接用逆拉氏變換法求解系統(tǒng)解,那么系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題無法確定。如果用Lyapunov方法來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性,那么將無法得到精確解,并且探索Lyapunov函數(shù)也是一個艱巨的過程。而本文提出的復路徑積分方法不僅可以得到系統(tǒng)解,還可以判定解的穩(wěn)定性問題。因此,將這種方法運用于電路分析及電路的建模和辨識中具有顯著的作用。大量數(shù)值方針及其分析驗證了上述結(jié)果的準確性和實用性。
[Abstract]:Integro-differential equation is a kind of effective modeling tool. The study of the properties of integro-differential model can enhance the deep understanding of the system. The stability of the integrodifferential equation can be used to guide the prediction and control of the system. Therefore, the analysis of the stability of integral-differential model and the realization of digital and simulation of the model will model the complex system. The optimization of control performance and fault diagnosis are of great practical significance. In this paper, several typical integro-differential equations are described in detail and the solutions of some typical integro-differential equations are given. The types of kernel functions with weak singularity are classified into fractional (non-integer) integro-differential equations. Compared with the integer order model, the fractional order model has more adjustable parameters and can describe the model more accurately. Therefore, the study of integro-differential equation with weak singularity kernel function has some vanguard and application value. Stability is one of the basic requirements of control system. It is also the basic condition to ensure the normal operation of the system. However, the study of stability is a difficult problem in the subject of integro-differential equation, even the stability analysis of linear time-invariant system still has some difficulty. In particular, the Lyapunov method is a very important method in the study of the stability of integrodifferential equations. It is difficult to find its Lyapunov function for fractional integrodifferential equations. In this paper, we first give the Lyapunov analysis method in the case of integer order, and analyze two different cases of one or more dimensions, and then give the Lyapunov analysis method in fractional order Caputo form. It provides theoretical support for the stability analysis of fractional integro-differential systems. In fractional order circuits, not only the time-domain solution of variables in the circuit can be obtained by modeling it with integro-differential equations, but also the time-domain solution of the variables in the circuit can be obtained. The Lyapunov method can also be used to analyze the stability of circuits and time-frequency domain analysis, which is very important for the study of fractional equivalent circuit models. However, it is a difficult task to explore Lyapunov functions. Even in linear time-invariant fractional differential systems, it is very difficult to study the stability of fractional equivalent circuit models by using Lyapunov method. It is very important to find a simple and effective method for the stability analysis of fractional order circuits. In this paper, a fractional order stability analysis method is introduced and applied to the fractional equivalent circuit model in biomedicine. A path integral method is proposed to analyze the stability of fractional circuits. If the inverse Laplace transform is directly used to solve the stability problem of the system, the stability problem of the system cannot be determined. If the stability of the system is analyzed by the Lyapunov method, Therefore, the complex path integral method proposed in this paper can not only obtain the solution of the system, but also determine the stability of the solution. The application of this method to circuit analysis and circuit modeling and identification has a significant effect. A large number of numerical guidelines and their analysis verify the accuracy and practicability of the above results.
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O175;O231

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本文編號：1526787