本文關(guān)鍵詞： 變分?jǐn)?shù)階微分方程 Legendre小波 數(shù)值解 小波去噪 多項(xiàng)式擬合 數(shù)值微分　出處：《燕山大學(xué)》2015年碩士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：隨著分?jǐn)?shù)階微積分在理論和實(shí)際應(yīng)用上的迅速發(fā)展,變分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)研究逐漸嶄露頭角。變分?jǐn)?shù)階微積分不僅在理論上給人們以巨大的研究空間,而且在實(shí)際建模和應(yīng)用上也蘊(yùn)藏著相當(dāng)大的潛力。因此,這一領(lǐng)域相關(guān)問題的研究價(jià)值是十分顯著的。由于變分?jǐn)?shù)階微積分算子中的變階指數(shù)的存在,此類問題的推導(dǎo)和計(jì)算較之于傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微積分就更為困難。隨著變分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展,開展相關(guān)高效數(shù)值計(jì)算方法的研究就尤為重要。變分?jǐn)?shù)階微積分算子的數(shù)值計(jì)算以及變分?jǐn)?shù)階微積分方程的數(shù)值求解就是論文要研究的其中兩個(gè)重要課題。小波分析經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展,其理論基礎(chǔ)已經(jīng)相當(dāng)深厚,而且在實(shí)際應(yīng)用中也發(fā)揮著強(qiáng)大的威力。小波變換已被廣泛應(yīng)用于解決信號和圖像的分解、重構(gòu)、增強(qiáng)、去噪等問題。此外,正交小波基函數(shù)的良好性質(zhì)結(jié)合函數(shù)逼近理論也可以很好地解決一些數(shù)值計(jì)算問題。論文結(jié)合以上兩類小波分析的應(yīng)用對文中課題開展研究工作。首先,論文對變分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷程和研究現(xiàn)狀作了介紹,接著介紹了小波分析的歷史背景與研究現(xiàn)狀。然后論文簡要給出了變分?jǐn)?shù)階微積分和小波分析的相關(guān)基礎(chǔ)知識。另外,這一部分重點(diǎn)介紹了Legendre小波函數(shù)的基本定義和性質(zhì)。其次,在3、4章中,論文利用Legendre小波函數(shù)導(dǎo)出相關(guān)的變分?jǐn)?shù)階微分算子矩陣,分別求解了變分?jǐn)?shù)階常微分方程和變分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值解。在第3章中,除給出了問題求解的新算法外,還給出了與有限差分算法的計(jì)算比較。在第4章中,在應(yīng)用所給算子矩陣改寫原方程外,還針對變分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的特征結(jié)合Legendre小波函數(shù)的分段特征,對原方程的初始條件進(jìn)行了特別處理。通過數(shù)值算例,說明兩章所提的數(shù)值算法是有效可行的。最后,在第5章中,論文結(jié)合小波去噪方法與多項(xiàng)式曲線擬合方法求解了含噪信號的變分?jǐn)?shù)階數(shù)值微分,數(shù)值算例表明了所給算法是簡潔有效的,同時(shí)也給出了與已有相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)果的比較。
[Abstract]:With the rapid development of fractional calculus in theory and practical application, the related research of variable fractional calculus is gradually emerging. Moreover, it has great potential in practical modeling and application. Therefore, the research value of the related problems in this field is very significant, because of the existence of variable-order exponents in variable-fractional calculus operators, The derivation and calculation of this kind of problem is more difficult than the traditional fractional calculus. It is very important to study the related and efficient numerical calculation methods. The numerical calculation of variational fractional calculus operator and the numerical solution of variational fractional calculus equation are two important topics to be studied in this paper. After decades of development, Wavelet transform has been widely used to solve the problems of signal and image decomposition, reconstruction, enhancement, denoising and so on. The good properties of orthogonal wavelet basis function and the approximation theory of function can also solve some problems of numerical calculation. This paper introduces the history and research status of variable fractional calculus, and then introduces the historical background and research status of wavelet analysis. Then the basic knowledge of variable fractional calculus and wavelet analysis is briefly given. In this part, the basic definition and properties of Legendre wavelet function are introduced. Secondly, in chapter 3, we use Legendre wavelet function to derive the related fractional differential operator matrix. The numerical solutions of variable fractional ordinary differential equations and variable fractional diffusion equations are solved, respectively. In chapter 3, in addition to the new algorithm for solving the problem, a comparison with the finite difference algorithm is given. In addition to rewriting the original equation by using the given operator matrix, the initial conditions of the original equation are specially treated according to the characteristics of the variational fractional diffusion equation and the piecewise characteristic of the Legendre wavelet function. Finally, in chapter 5, combining wavelet denoising method and polynomial curve fitting method, the variational fractional numerical differential of noisy signal is solved. Numerical examples show that the proposed algorithm is simple and effective.
【學(xué)位授予單位】：燕山大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O172

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本文編號：1501255