本文關(guān)鍵詞：反基礎(chǔ)公理的模型研究

  更多相關(guān)文章： 反基礎(chǔ)公理 非良基集合 外延公理 可構(gòu)成模型 構(gòu)造性模型

【摘要】：在經(jīng)典的公理化集合論系統(tǒng)ZF中,有一條刻畫集合性質(zhì)的公理。這條公理通常被稱作基礎(chǔ)公理、良基公理或正則公理,記作FA。在將FA加入ZF之前,循環(huán)集合在ZF中是否存在是不能斷定的。將FA加入ZF之后,它不但排除了羅素悖論還使得經(jīng)典集合論中的所有對(duì)象都是良基的。同時(shí),它也排除了滿足循環(huán)條件x∈x和∈-無窮遞降鏈條件構(gòu)成的集合(這類集合被稱作非良基集合)�；A(chǔ)公理FA把ZF的論域限制到整個(gè)良基集合的范圍中。因此,經(jīng)典的公理化集合論系統(tǒng)ZF不能很好地刻畫循環(huán)現(xiàn)象。然而,循環(huán)現(xiàn)象無處不在。例如,自然界中白天和黑夜的循環(huán)現(xiàn)象；年復(fù)一年的春、夏、秋、冬四季的循環(huán)現(xiàn)象；交通燈的顏色由紅、黃、綠三色交替的循環(huán)現(xiàn)象。再如,計(jì)算機(jī)科學(xué)中自動(dòng)控制系統(tǒng)和傳遞系統(tǒng)的循環(huán)；哲學(xué)中公共知識(shí)的“知道”結(jié)構(gòu)循環(huán)；語義學(xué)中說謊者悖論的自我指稱循環(huán)。為循環(huán)現(xiàn)象或者非良基集合建立模型是20世紀(jì)后期邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家的一項(xiàng)重要工作。 1988年阿克采爾提出了反基礎(chǔ)公理AFA,將ZF中的基礎(chǔ)公理FA替換為反基礎(chǔ)公理AFA得到了非良基集合論系統(tǒng)ZFC-+AFA,并為它建立了模型,從而創(chuàng)立了非良基集合理論。由于非良基集合論可以作為循環(huán)現(xiàn)象的模型,因此,它們在哲學(xué)、數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、邏輯學(xué)、語言學(xué)以及理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中都具有十分重要的作用。 本文在借鑒和吸納國內(nèi)外研究成果的基礎(chǔ)上,梳理了阿克采爾的非良基集合論的基本理論,討論了非良基集合的外延性。特別的,利用哥德爾的可構(gòu)成模型L,采用阿克采爾的方法,為含有反基礎(chǔ)公理AFA的集合論系統(tǒng)ZFC-+AFA和含有反基礎(chǔ)公理族AFA~的集合論系統(tǒng)ZFC-+AFA~建立了可構(gòu)成模型；此外,在林德斯姆(Lindstrom)工作的基礎(chǔ)上,仍然采用阿克采爾的方法,建立了含有反基礎(chǔ)公理族AFA~的集合論系統(tǒng)ZFC-+AFA~的構(gòu)造模型。這些工作對(duì)豐富集合論理論具有一定的意義,并對(duì)邏輯學(xué)發(fā)展有一定的促進(jìn)作用。 總的來說,本文的主要工作包含以下四方面： 第一,詳細(xì)的論證了基礎(chǔ)公理FA與反基礎(chǔ)公理AFA之間的關(guān)系,說明了FA的局限性,解釋了AFA取代FA的原因,并介紹了AFA產(chǎn)生的過程。 第二,利用典范圖提出了集合全域B中的外延公理,并且系統(tǒng)討論了集合全域V~的外延性問題,還列舉了許多例子來說明如何判斷兩個(gè)非良基集合相等的問題。另外,給出了五種集合全域之間包含關(guān)系的一個(gè)證明,即WF(?)A(?)S(?)F(?)B,說明了非良基集合全域是標(biāo)準(zhǔn)集合論全域(迭代集合全域WF)的擴(kuò)張。 第三,以哥德爾可構(gòu)成公理V=L為基礎(chǔ),在可構(gòu)成集合全域下,重新定義了裝飾、系統(tǒng)映射、正則互模擬等概念,采用阿克采爾的方法,分別建立了ZFC-+AFA和ZFC-+AFA~的可構(gòu)成模型。當(dāng)正則互模擬-分別取≌t和≌*時(shí),就得到了ZFCˉ+ SAFA(將基礎(chǔ)公理FA替換為斯考特的反基礎(chǔ)公理SAFA后的得到的非良基集合論系統(tǒng))和ZFCˉ+ FAFA(將基礎(chǔ)公理FA替換為費(fèi)思勒的反基礎(chǔ)公理FAFA后的得到的非良基集合論系統(tǒng))的可構(gòu)成模型。 第四,在林德斯姆(Lindstrom)為反基礎(chǔ)公理AFA建立構(gòu)造模型的基礎(chǔ)上,利用瑪汀洛夫(Martin Lof)類型論,為同一公理族AFA~建立了構(gòu)造模型。當(dāng)正則互模擬～分別取≌t和≌*時(shí),就得到了ZFCˉ+SAFA和ZFCˉ+FAFA的構(gòu)造模型。
【關(guān)鍵詞】：反基礎(chǔ)公理 非良基集合 外延公理 可構(gòu)成模型 構(gòu)造性模型
【學(xué)位授予單位】：南開大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2010
【分類號(hào)】：B812
【目錄】：

• 摘要5-7
• Abstract7-12
• 第一章 引言12-16
• 第二章 基礎(chǔ)公理FA與反基礎(chǔ)公理AFA16-25
• 第1節(jié) 關(guān)于基礎(chǔ)公理FA之爭16-19
• 第2節(jié) 基礎(chǔ)公理FA的局限性19-21
• 2.2.1 流19-20
• 2.2.2 無窮樹20-21
• 第3節(jié) 反基礎(chǔ)公理AFA21-25
• 2.3.1 AFA的提出21-22
• 2.3.2 AFA的等價(jià)形式22-23
• 2.3.3 AFA的一致性23-25
• 第三章 四種反基礎(chǔ)公理25-54
• 第1節(jié) 集合的圖25-30
• 第2節(jié) Boffa公理:BA_130-31
• 第3節(jié) Azcle反基礎(chǔ)公理:AFA31-41
• 3.3.1 互模擬32-37
• 3.3.2 系統(tǒng)映射37-40
• 3.3.3 AFA的等價(jià)形式40-41
• 第4節(jié) 公理AFA的推廣:AFA～41-45
• 第5節(jié) 公理AFA的變體:FAFA和SAFA45-50
• 3.5.1 Finsler公理:FAFA45-47
• 3.5.2 Scott公理:SAFA47-50
• 第6節(jié) 公理AFA、FAFA和SAFA的關(guān)系50-54
• 第四章 非良基集合全域及其外延性公理54-64
• 第1節(jié) Bofaf集合全域B及其外延性55-57
• 第2節(jié) 非良基集合全域V~～及其外延性57-62
• 第3節(jié) 非良基集合全域與數(shù)系擴(kuò)張的類比62-64
• 第五章 反基礎(chǔ)公理的可構(gòu)成模型64-78
• 第1節(jié) 公理AFA的可構(gòu)成模型64-73
• 第2節(jié) 公理族AFA~～的可構(gòu)成模型73-78
• 第六章 反基礎(chǔ)公理的構(gòu)造性模型78-95
• 第1節(jié) 構(gòu)造性集合論CZF78-84
• 第2節(jié) AFA的構(gòu)造模型84-92
• 第3節(jié) 公理族AFA~～的構(gòu)造模型92-95
• 參考文獻(xiàn)95-100
• 致謝100-101
• 個(gè)人簡歷101

【參考文獻(xiàn)】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前4條

1 李娜;杜文靜;;非良基集合的外延公理(英文)[J];邏輯學(xué)研究;2009年03期

2 胡世華;信息時(shí)代的數(shù)學(xué)[J];數(shù)學(xué)進(jìn)展;1988年01期

3 郝寧湘;構(gòu)造性數(shù)學(xué)及其哲學(xué)意義[J];自然辯證法通訊;1997年03期

4 張清宇;循環(huán)并不可惡——《惡性循環(huán) :非良基現(xiàn)象的數(shù)學(xué) 》評(píng)介[J];哲學(xué)動(dòng)態(tài);2005年04期

，

本文編號(hào)：853045