本文關(guān)鍵詞：哥德爾定理的意義，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

《清華大學(xué)》 2005年

哥德爾定理的意義

唐芳芳  

【摘要】：哥德爾定理對20世紀有深刻的影響,但目前國內(nèi)有的人對哥德爾定理本身及其涉及的邏輯、形式化方法等存在誤解,因此,有必要對這些誤解進行糾正,澄清定理涉及的重要概念,力求正確理解哥德爾定理的意義。 本文首先討論哥德爾定理中的兩種“完全性”的區(qū)別:第一,完全性定理中討論的“完全性”是邏輯的性質(zhì),因為它不依賴于特定的模型或前提集的特性,而是研究邏輯對推理的語法刻畫和語義刻畫之間的關(guān)系。第二,不完全性定理的“完全性”是理論的性質(zhì),因為它依賴于特定的理論的前提集和模型的特性。完全性定理表明一階謂詞邏輯的語法后承和語義后承是重合的,它標志著一階邏輯的成熟。不完全性定理表明任何足夠豐富的形式系統(tǒng)都是不完全的理論,而有機械的證明驗證是對形式系統(tǒng)的基本要求。 接著,本文分析哥德爾定理的意義。本文糾正了一些誤解,指出:哥德爾語句不是悖論;哥德爾定理并不否認數(shù)學(xué)是和諧的,沒有直接表明人心勝于機器,沒有完全推翻希爾伯特綱領(lǐng),沒有動搖邏輯基礎(chǔ),所揭示的不是邏輯的局限性,而是形式系統(tǒng)的局限性。本文認為哥德爾定理的結(jié)論揭示了形式化方法的局限性,而其證明技巧發(fā)展了形式化方法:不完全性定理的根本點在于證明了數(shù)學(xué)的足夠強的子系統(tǒng)是不完全的,而不在于數(shù)學(xué)是不可完全的;完全性定理隱含的結(jié)論揭示了一階語言的局限性;第二不完全性定理顯示了形式化方法強大的表達能力和推理能力。本文指出形式化方法在數(shù)學(xué)、邏輯、哲學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用,反對否定形式化方法的態(tài)度。本文認為哥德爾不完全性定理第一次揭示了“真”和“可證”的區(qū)別。真和可證的區(qū)別有兩層意思:一是真和可證的命題集不是重合的,二是在形式算術(shù)中真不能作謂詞而可證可以作謂詞。哥德爾對真和可證的區(qū)別的發(fā)現(xiàn)比塔斯基要早。 最后,本文論述了哥德爾定理產(chǎn)生的深遠影響,指出哥德爾定理不僅促進了現(xiàn)代邏輯的發(fā)展,還影響了哲學(xué)、計算機科學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科,以糾正“哥德爾定理影響很小,意義不值一提”的錯誤看法。

【關(guān)鍵詞】：
【學(xué)位授予單位】：清華大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2005
【分類號】：B81-06
【目錄】：

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