【摘要】：反常擴(kuò)散現(xiàn)象在自然界是普遍存在的.由于分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程不僅可以刻畫反常擴(kuò)散的記憶過程、遺傳性質(zhì)和空間非局域性特征,而且還可以準(zhǔn)確描述介質(zhì)遷移的穿透曲線.同時其作為一種數(shù)學(xué)物理建模方法,且在某些復(fù)雜系統(tǒng)的建模方面比整數(shù)階方程更具有優(yōu)勢.因此反常擴(kuò)散是理論物理和統(tǒng)計力學(xué)的基礎(chǔ)研究課題之一,也是生態(tài)數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)金融和工程等領(lǐng)域普遍關(guān)心的一種基本物理過程,具有切實的實際應(yīng)用背景.研究表明:次擴(kuò)散可以抑制斑圖的形成;超擴(kuò)散導(dǎo)致前波速度的顯著增加.此外,Levy飛行系統(tǒng)中可能導(dǎo)致螺旋波和化學(xué)湍流形成的振蕩反應(yīng)擴(kuò)散模式.那么對超擴(kuò)散反應(yīng)擴(kuò)散的斑圖動力學(xué)研究將是很有趣的.因此本文將從以下三個方面探究該斑圖動力學(xué)行為.首先利用Galerkin逼近方法和Gronwall不等式分析了具有反常擴(kuò)散的捕食食餌模型弱解的存在唯一性.在此基礎(chǔ)上,利用最小序列理論進(jìn)一步考慮該超擴(kuò)散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題.其次研究了一類具有超擴(kuò)散項化學(xué)反應(yīng)-Lengyel-Epstein系統(tǒng)的Turing斑圖問題.分析了諸如均勻解,條紋和六邊形斑圖解的存在性,混合斑圖,及其穩(wěn)定性,以及解之間的相互作用和轉(zhuǎn)換.數(shù)值仿真表明抑制劑和激活劑的超擴(kuò)散指數(shù)的比率在斑圖選擇中的重要作用.如果該比率不等于1時,則空間斑圖是多樣的.但是,若比率等于1,和整數(shù)階的沒有本質(zhì)區(qū)別,只有數(shù)量的差別.最后第四章探究了具有超交叉擴(kuò)散系統(tǒng)的Turing斑圖問題.研究表明,具有兩個共振矢量的波,可導(dǎo)致熱或冷點斑圖的出現(xiàn),這是第三章沒有的結(jié)果.第五章研究了具有超擴(kuò)散項的捕食食餌系統(tǒng)的Turing-Hopf分支.研究表明,對于Turing-Hopf分-支來說,當(dāng)某一個分?jǐn)?shù)階指數(shù)減少時,(i)會發(fā)生二次分岔出現(xiàn);(ii)超擴(kuò)散可以產(chǎn)生和消除波斑圖.
【圖文】：

＜ｉ邋＞邋Ｕ邋）邋Ｕ邋＜邐＜！邐？邋Ｕ邋ｌ逡逑圖３．１邋Ｔｕｒｉｎｇ和Ｈｏｐｆ分支曲線逡逑在圖３．２里，三個不同的曲線：－邋１邋＝邋０為虛線，分別對應(yīng)逡逑７邋＝邋１，１．５，邋２．然后由曲線心，卜和６確定三個不同的圖靈不穩(wěn)定性參數(shù)域．從逡逑圖３．２可以看出，Ｔｕｒｉｎｇ不穩(wěn)定域隨著７的變化而變化，隨著７的增加，Ｔｕｒｉｎｇ不逡逑穩(wěn)定域卻在減�。�(dāng)７邋＝邋２時，它是具有正常擴(kuò)散的區(qū)域，遠(yuǎn)小于超擴(kuò)散對應(yīng)逡逑的不穩(wěn)定域．逡逑§３．３多尺度分析逡逑根據(jù)以上分析，我們?nèi)匀徊恢滥姆NＴｕｒｉｎｇ斑圖將形成．由于Ｔｕｒｉｎｇ斑逡逑圖的形成是當(dāng)Ｔｕｒｉｎｇ參數(shù)６接近臨界值６邋＝邐時，與臨界模相匹的特征值逡逑接近于零，且它們是慢變化的模，而非臨界模則快速地松弛，因此只考慮ｆｃ的逡逑擾動在附近時．在［１２２，邋１２３，邋１２４］中．作者介紹了描述快模動力學(xué)的振幅逡逑方程．通過分析擴(kuò)散系統(tǒng)的振幅方程

Р┦柯畚模杭咐喑噗┥⒎從ο低車陌咄級獪ρа芯浚]3?次臨界分支引起的．即，系統(tǒng)在控制參數(shù)區(qū)域存在一個雙穩(wěn)區(qū)，＆邋＜／ｉ邋＜／／２，逡逑在該雙穩(wěn)區(qū)，六邊形斑圖和均勻態(tài)都是穩(wěn)定的，見圖３．２．條形斑圖的出現(xiàn)源于逡逑超臨界分支，但當(dāng)／／＜／？／，３時，它是不穩(wěn)定的．只有當(dāng)／Ｘ邋＞邋＂３時，條狀斑圖才逡逑會變?yōu)榉�(wěn)定的．由于六邊形斑圖在／ｉ邋＞叫時才會失穩(wěn)，那么，當(dāng)控制參數(shù)Ａｉ逡逑落在（／／３，／ｉ４：）區(qū)間時，系統(tǒng)存在另一個雙穩(wěn)態(tài)，即六邊形和條狀斑圖共存的雙逡逑穩(wěn)，，當(dāng)控制參數(shù)大于／／邋＞邋／／４時，系統(tǒng)由六邊形斑圖切換為條狀斑圖．逡逑。：么二：逡逑Ｃ邋——邐？邐邐邐逡逑４Ｓ邋９邋Ｊ５邋＊邋ｔ￥邋２邐２＜逡逑圖３．２斑圖解分支相圖．逡逑圖３．２，邋Ｔｕｒｉｎｇ斑圖（＂，ｐ）面的分支相圖是系統(tǒng)（３．１．２）利用多尺度分析得逡逑到的．（紅）是正六邊形斑圖對應(yīng)于＾邋＝邋０；邐＝邋７Ｔ（藍(lán)）是負(fù)六邊形斑圖對應(yīng)逡逑于Ｗ邋＝邋７Ｔ．黑線是條狀斑圖．相關(guān)參數(shù)取值為ａ邋＝邋１５，６邋＝邋１．２，ｅ邋＝邋２，＜７邋＝邋８和逡逑７邋＝邋１．５．其中相關(guān)／／的臨界值分別為＆邋＝邋－０．２，妁＝０．１８９６和／／４邋＝邋１．２２５４．逡逑實線表示解是穩(wěn)定的
【學(xué)位授予單位】：安徽大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2019
【分類號】：O232;Q141

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本文編號：2633803