為提高奇異值分解法求解病態(tài)線性方程組的有效性,研究了基于奇異值分解求解病態(tài)線性方程組的正則化因子分步選取方法。首先基于奇異值分解求解病態(tài)線性方程組構(gòu)建濾波正則化方程,根據(jù)正則化因子序列求出正則解范數(shù)和正則解殘差范數(shù)的L-曲線,基于L-曲線的局部特征尋找候選角點,再從候選角點中確定最佳角點,進(jìn)而得到最佳正則化因子。通過對希爾伯特方程組的求解,驗證了本算法的有效性。

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【部分圖文】：

圖1L-曲線示意圖

選擇合適的正則化因子λ,可以壓制較小奇異值的影響。2基于L-曲線尋找最佳正則化因子

圖2100階希爾伯特矩陣的奇異值分布圖

Ax=b(10)式中:A的元素為aij=1/(i+j-1);右端項b的元素為bi=∑j=1maij,其中i(i=1,2,?,m)表示矩陣的行號,j(j=1,2,?,n)表示矩陣的列號,且m≥n。系數(shù)矩陣A的線性方程組有比較嚴(yán)重的病態(tài)特....

圖3不同正則化因子對應(yīng)的最大絕對誤差曲線

給定不同的正則化因子并逐一求解希爾伯特方程組，解的誤差表現(xiàn)出明顯變化，如圖3所示。從圖3中可以看出，隨著正則化因子減小，解的最大誤差逐漸減小并達(dá)到最小；當(dāng)正則化因子繼續(xù)減小時，解的最大誤差又逐漸增大；當(dāng)正則化因子減小到很小如1E-18時，相當(dāng)于沒有做奇異值處理。給定不同的正則化因....

圖4不同正則化因子的100階希爾伯特方程組的解

圖3不同正則化因子對應(yīng)的最大絕對誤差曲線圖5L-曲線圖

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