在分組密碼的擴(kuò)散層中構(gòu)造MDS線性變換可實(shí)現(xiàn)良好的擴(kuò)散性.構(gòu)造MDS線性變換的方法有很多種,其中基于Rotational-XOR的MDS線性變換軟硬件實(shí)現(xiàn)效率高,能夠增強(qiáng)密碼算法抵抗各種密碼分析的能力,適用于對(duì)稱密碼算法設(shè)計(jì),例如SMS4算法、ZUC算法等.本文研究構(gòu)造MDS線性變換的必要條件,探尋分組規(guī)模為64、分塊規(guī)模為8時(shí)基于Rotational-XOR的MDS線性變換.首先通過(guò)分析首行矩陣的性質(zhì),給出MDS矩陣的一個(gè)必要條件為矩陣中不可能有連續(xù)三個(gè)矩陣塊相同,根據(jù)該條件證明此規(guī)模下異或項(xiàng)數(shù)取最小值9項(xiàng)時(shí)不存在MDS線性變換,并利用Magma軟件驗(yàn)證該結(jié)論.進(jìn)而研究異或項(xiàng)數(shù)為11項(xiàng)時(shí)的MDS線性變換,將此情況下的所有線性變換分為三種情況,分別是一個(gè)矩陣中至多有一個(gè)自由項(xiàng)、存在兩個(gè)自由項(xiàng)落在同一矩陣中和三個(gè)自由項(xiàng)恰好落在同一矩陣中.這三種情況將該規(guī)模下的8⁸×56×55×54個(gè)線性變換等價(jià)劃分為15種形式,設(shè)計(jì)15個(gè)算法分別搜索后得到此規(guī)模下異或項(xiàng)數(shù)取11項(xiàng)時(shí)也不存在MDS線性變換.本文的結(jié)論和搜索方法對(duì)研究分塊規(guī)模為8的MDS擴(kuò)散層具有啟示作用. 

【文章來(lái)源】：密碼學(xué)報(bào). 2020,7(05)CSCD

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【部分圖文】：

首行矩陣的一般形式

672JournalofCryptologicResearch密碼學(xué)報(bào)Vol.7,No.5,Oct.2020其中ai,j是F2中的一個(gè)元素,diag(σk)表示m階對(duì)角矩陣.diag(σk)在所有ji=σk的位置上都滿足ai,j=1,其余位置上滿足ai,j=0.滿足定義5的方陣均可表示為多個(gè)同階對(duì)角矩陣之和的形式.例如圖2中的矩陣可表示為A=diag(5)+diag(0)+diag(3).圖2A的對(duì)角矩陣表示形式:A=diag(5)+diag(0)+diag(3)Figure2RepresentationofdiagonalmatrixofA:A=diag(5)+diag(0)+diag(3)引理2L(X)是MDS線性變換的必要條件是:(1)d0=d1;(2)di≥di+1,其中i=2,3,···,n1;(3)max{d0,d1}≥d2;(4)min{d0,d1}≤dn.證明:假設(shè)L是MDS矩陣,根據(jù)定理1,L的所有1階子矩陣均滿秩.(1)若d0=d1,則L1定為奇異矩陣,因此d0=d1;(2)若di<di+1,則Li+1中元素個(gè)數(shù)小于m,即Li+1是奇異矩陣,因此di≥di+1(i=2,3,···,n1);(3)假設(shè)d0<d1,若此時(shí)d1<d2,則L2中元素個(gè)數(shù)小于m,即L2是奇異矩陣,d1<d0時(shí)同理,因此需滿足max{d0,d1}≥d2;(4)假設(shè)d0<d1,若此時(shí)d0>dn,則L1中元素個(gè)數(shù)小于m,即L1是奇異矩陣,d1<d0時(shí)同理,因此需滿足min{d0,d1}≤dn;綜上所述,引理2得證.引理3[26]若L=Circ(L1,L2,···,Ln)是MDS矩陣,當(dāng)L首行有兩個(gè)連續(xù)相同的矩陣塊時(shí),其它任意兩個(gè)連續(xù)矩陣塊之和都應(yīng)是非奇異的.推論1若L=Circ(L

【參考文獻(xiàn)】：
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