【摘要】：非線性半定規(guī)劃(SDP)的研究非常重要,因為該問題在金融工程和控制等領(lǐng)域有著實際應(yīng)用,例如反饋控制、衍架拓撲優(yōu)化、結(jié)構(gòu)設(shè)計、魯棒優(yōu)化、材料優(yōu)化以及控制論中的線性和雙線性矩陣不等式問題、特征值優(yōu)化問題等等.因此,對非線性半定規(guī)劃問題的研究已經(jīng)成為目前國際上的一個研究熱點.一些學者對求解非線性半定規(guī)劃問題的算法做了研究工作,并且提出了一些比較有效的算法,如增廣拉格朗日乘數(shù)法、原始-對偶內(nèi)點算法、序列二次半定規(guī)劃方法、同倫方法、可行方向法等等.在提出的這些算法中,序列半定規(guī)劃(SSDP)方法可以看作是非線性規(guī)劃(NLP)中序列二次規(guī)劃(SQP)方法的一個推廣,因此有研究者將關(guān)于序列二次規(guī)劃方法為基礎(chǔ)的研究工作也應(yīng)用到非線性半定規(guī)劃上去,提出了信賴域結(jié)構(gòu)的濾子算法和無懲罰無濾子算法.這些算法都有全局收斂性質(zhì),然而,由于半定約束的特殊性,對SDP問題局部收斂性的研究并不多.如同非線性規(guī)劃一樣,非線性半定規(guī)劃的算法中也會產(chǎn)生Maratos效應(yīng).目前關(guān)于如何克服和解決這個問題的研究很少.本文首先提出了一種針對SSDP方法的二階校正步(SOC)技術(shù),這種技術(shù)在計算二階校正步時,利用零空間構(gòu)造對應(yīng)的子問題,結(jié)合矩陣分析和強半光滑的理論結(jié)果,證明了構(gòu)造的二階校正步定義是合理的,此外,本文將該思想應(yīng)用于采用l1精確罰函數(shù)的SSDP算法中去,證明了當算法產(chǎn)生的序列充分靠近最優(yōu)解,且在非退化條件,嚴格互補和二階充分條件下,滿步長或者帶二階校正步的滿步長能夠被l1精確罰函數(shù)接受,從而克服了Maratos效應(yīng),且證明了該算法具有超線性收斂性.在非線性規(guī)劃中,使用罰函數(shù)的算法當罰因子過大時可能會造成計算溢出,因此,本文的另一個研究工作是將非線性規(guī)劃的無懲罰型思想推廣到非線性半定規(guī)劃上來,給出了求解非線性半定規(guī)劃的直線搜索濾子算法和無懲罰無濾子算法,并給出了這些算法的全局收斂性分析.更進一步,結(jié)合前面提出的二階校正步技術(shù),證明了當算法產(chǎn)生的序列充分靠近最優(yōu)解,且在非退化,嚴格互補和和二階充分條件下,滿步長或者帶二階校正步的滿步長能夠被這些無懲罰方法的接受準則所接受,從而克服了Maratos效應(yīng).需要指出的是,由于半定約束的存在,全局和局部收斂性的證明并不是簡單的推廣,不少的性質(zhì)需要針對半定規(guī)劃的形式重新給出證明.大多數(shù)無懲罰型算法需要可行性恢復(fù)階段,這一階段主要是為了解決序列半定規(guī)劃子問題不相容或可行性太差的問題,導(dǎo)致無法得出原問題合適的搜索方向.然而,在這一階段需要耗費大量的計算,且目前對于非線性半定規(guī)劃,也沒有十分有效的可行性恢復(fù)算法.為了避免這一過程,本文還研究了一種兩階段的SSDP算法.首先,從一個線性半定規(guī)劃問題中計算一個“舵性步”,除了能夠給出線性化約束違反度在當前迭代點的鄰域附近可能產(chǎn)生的最大下降量信息,還能夠“探測”子問題是否可行.然后,調(diào)節(jié)罰因子并計算一個搜索方向,該方向是通過求解一個二次半定規(guī)劃問題或一個嚴格的凸優(yōu)化問題來得到.算法要求該方向能夠改善線性化約束違反程度,并且是l1精確罰函數(shù)的一個下降方向.這種方法的優(yōu)點在于不需要假設(shè)子問題一定是可行的,此外,在分析全局收斂性的時候也不需要約束規(guī)格.受非線性規(guī)劃中克服Maratos效應(yīng)的另一思想一非單調(diào)技術(shù)啟發(fā),本文結(jié)合前面的兩階段SSDP算法,給出了一種非單調(diào)的兩階段SSDP算法,并給出了這種算法的全局和局部收斂性分析,說明非單調(diào)技術(shù)也能克服非線性半定規(guī)劃中的Maratos效應(yīng).為了說明算法的有效性,本文針對上面所研究的問題和算法均給出了數(shù)值試驗或相關(guān)算例,試驗結(jié)果也驗證了所提出方法的效果.
【學位授予單位】：蘇州大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O221

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本文編號：2678949