研究兩端固定屈曲梁這種同時含有2,3次非線性項的系統(tǒng)受基礎(chǔ)簡諧激勵作用下的非線性振動響應(yīng)及分岔演化過程。對屈曲梁的運動微分方程,利用Galerkin方法分離時間和空間變量,應(yīng)用增量諧波平衡（IHB）法自動追蹤屈曲梁的非線性振動響應(yīng)的周期解和倍周期解,并用Floquet理論分析其解的穩(wěn)定性。研究表明屈曲梁對稱模態(tài)的固有頻率隨屈曲程度而變化,反對稱模態(tài)的固有頻率保持不變。研究發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)簡諧激勵作用下,不同屈曲程度時存在兩種截然不同的非線性現(xiàn)象:1)在非共振時,反對稱模態(tài)未能被激發(fā),系統(tǒng)經(jīng)過發(fā)生倍周期分岔通向混沌運動;2)在1∶1內(nèi)共振條件下,反對稱模態(tài)在一定的頻率區(qū)間里會被激發(fā),系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔導(dǎo)致具有等間距邊頻帶的準周期運動,最后至混沌運動。利用IHB法得到結(jié)果與用Runge-Kutta法得到的數(shù)值結(jié)果一致。 

【文章來源】：振動工程學(xué)報. 2020,33(04)北大核心EICSCD

【文章頁數(shù)】：11 頁

【部分圖文】：

圖1 兩端固定屈曲梁在基礎(chǔ)簡諧激勵作用下振動

本文以文獻[9]中Kreider和Nayfeh實驗所用的梁為計算模型。其梁長27.922cm，寬1.270cm，厚0.508mm，楊氏模量為206.843GPa，密度為7805.733kg/m3。取方程（12）中外激勵的振幅a為0.2246，式（23）中模態(tài)阻尼系數(shù)ξ為0.04。根據(jù)上述計算梁各階固有頻率的方法，代入數(shù)據(jù)可計算得到各階固有頻率?j隨跨中高度b的變化。圖2給出了前4階固有頻率隨跨中高度b的變化，從圖中可看出，隨著跨中彎曲的增加，梁的反對稱模態(tài)固有頻率保持不變，而對稱模態(tài)固有頻率不斷增加。在某些條件下，梁的各階固有頻率之間存在著倍數(shù)關(guān)系，使得梁的各階模態(tài)之間存在著可能發(fā)生1∶1,1∶2,1∶3內(nèi)共振的條件，限于篇幅及具體（結(jié)構(gòu)）參數(shù)所對應(yīng)產(chǎn)生內(nèi)共振的條件，本文將重點聚焦于1∶1內(nèi)共振條件下曲屈梁的非線性動力學(xué)行為的研究。本文考慮了兩個不同跨中高度情形下梁的振動工況。工況1）當跨中高度b1=0.0018，非共振時，梁的前4階固有頻率分別為26.660,44.363,106.988,182.118，此時梁的第1階固有頻率小于第2階固有頻率；工況2）當跨中高度b2=0.0036，存在1∶1內(nèi)共振時，梁的前4階固有頻率分別為47.643,44.363,118.975,182.118，此時梁的第1階固有頻率接近第2階固有頻率，第1模態(tài)與第2模態(tài)之間存在1∶1內(nèi)共振條件。

圖3(a）中a點外激勵的頻率為30.6，從a點開始計算倍周期分岔之后產(chǎn)生的period-2周期解，令m=2,nc=11,ns=10，式（35）中Δω為-0.01，為15.3。對計算得到的period-2周期解進行穩(wěn)定性分析可發(fā)現(xiàn)，在圖3(b）中b點外激勵頻率為29.42處，period-2周期解不穩(wěn)定，在此處再次發(fā)生倍周期分岔。令m=4,nc=17,ns=16，式（37）中Δω為-0.001，為7.355，可計算得到period-4的周期解。同理，在c點外激勵頻率為29.26處和d點外激勵頻率為29.2424處發(fā)生倍周期分岔分別得到period-8和period-16的周期解。利用Floquet理論對period-16周期解的穩(wěn)定性進行判定，其Floquet乘子在復(fù)平面上通過+1穿過單位圓，運動發(fā)生跳躍分岔至另一為period-2周期解的響應(yīng)曲線ef。在圖3(b）中f點外激勵頻率為29.1824，對應(yīng)的period-2周期解發(fā)生倍周期分岔變?yōu)閜eriod-4周期解。g點外激勵頻率為28.8424，對應(yīng)的period-4周期解發(fā)生倍周期分岔變?yōu)閜eriod-2周期解。h點在外激勵為28.4713處發(fā)生跳躍分岔，此時頻率曲線回折，跳躍到圖中相同外激勵頻率對應(yīng)的運動穩(wěn)定點。圖4和圖5展示了從圖3中a點到e點振動響應(yīng)的變化。即非共振時，外激勵頻率接近梁的第1階固有頻率時振動響應(yīng)的分岔演化過程。圖4(a）與圖5(a）分別為外激勵頻率為30.7處（圖3中a點右側(cè)）穩(wěn)定的period-1周期解中q1的頻譜圖和相圖。從相圖中比較RK法和IHB法，可以發(fā)現(xiàn)兩種方法得到的結(jié)果完全一致。圖4(b）與圖5(b）分別為外激勵頻率為29.44處（圖3中b點右側(cè)）穩(wěn)定的period-2周期解中q1的頻譜圖和相圖。圖4(c）與圖5(c）分別為外激勵頻率為29.264處（圖3中c點右側(cè)）穩(wěn)定的period-4周期解中q1的頻譜圖和相圖。圖4(d）與圖5(d）分別為外激勵頻率為29.2432處（圖3中d點右側(cè)）穩(wěn)定的period-8周期解中q1的頻譜圖和相圖。圖4(e）與圖5(e）為外激勵頻率為29.2424處（圖3中d點），由于振動響應(yīng)不斷發(fā)生倍周期分岔所引起的混沌運動中q1的頻譜圖和相圖。由圖5(e）看出，在此混沌運動中存在著兩個對稱的局部吸引子和一個全局吸引子。圖4(f）與圖5(f）分別為由其演變得到的穩(wěn)定的period-2周期解（圖3中e點）中q1的頻譜圖和相圖，經(jīng)過一段時間混沌運動，振動響應(yīng)從混沌運動中的一個局部吸引子跳躍到另一個與之對稱的局部吸引子。

【參考文獻】：
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本文編號：3331213