本文將微分幾何中光滑曲面上局部存在的基于主方向的正交系聯(lián)系于張量分析中的非完整基理論,以此為曲面與其鄰域上的張量場(chǎng)場(chǎng)論提供了一種新方法,稱為基于曲面主方向的正交系的非完整基理論。這種場(chǎng)論方法,基于基面的沿主方向的參數(shù)坐標(biāo),然后沿基面的法方向進(jìn)行空間延拓,以此獲得基面鄰域內(nèi)的完整的正交系。對(duì)此引入非完整基理論,可得所有的非零Christoffel符號(hào)直接對(duì)應(yīng)為基面或者當(dāng)?shù)厍娴闹髑驶蛘邷y(cè)地曲率,因而張量場(chǎng)的各種微分算子相對(duì)于曲面的主方向與法方向展開(kāi),所得分量表達(dá)式僅含物理量與曲面曲率。由此不僅可以清晰地展現(xiàn)曲面幾何特征與物理量/物理過(guò)程之間的關(guān)系,而且所獲得的分量表達(dá)式形式上最為簡(jiǎn)單。另一方面,經(jīng)典的諸如柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等正交系也隸屬基于曲面主方向的正交系,從而本文方法可以統(tǒng)一相關(guān)正交系下的張量場(chǎng)場(chǎng)論。作為應(yīng)用,本文推導(dǎo)了可變形曲面上渦量、渦量法向梯度與變形率張量的表達(dá)式,曲面上流體邊界層方程的分量方程,曲面介質(zhì)相關(guān)守恒律方程等。 

【文章來(lái)源】：空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào). 2020,38(01)北大核心CSCD

【文章頁(yè)數(shù)】：25 頁(yè)

【部分圖文】：

截面上投影曲線等同于以法曲率為曲率的圓周圖１曲面上的曲線（ｂ）

）－ｒη（Ｓη）＝ΔＳηｅη＋１２κｇ，η（ΔＳη）２ｅξ＋１２λη（ΔＳη）２ｎ＋ｏ（（ΔＳη）２）烅烄烆式中ｒξ（Ｓξ）與ｒη（Ｓη）分別為ξ－線與η－線的弧長(zhǎng)參數(shù)表示。由此，主曲率λη可以理解為η－線在ｅη對(duì)應(yīng)的主法截面上的投影曲線所對(duì)應(yīng)的曲率圓的曲率；測(cè)地曲率κｇ，η為η－線在切平面上的投影曲線所對(duì)應(yīng)的曲率圓的曲率，如圖２所示。類似地，主曲率λξ可以理解為ξ－線在ｅξ對(duì)應(yīng)的主法截面上的投影曲線所對(duì)應(yīng)的曲率圓的曲率；κｇ，ξ為ξ－線在切平面上的投影曲線所對(duì)應(yīng)的曲率圓的曲率。圖２主曲率與測(cè)地曲率的幾何意義Ｆｉｇ．２Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｅａｎｉｎｇｏｆｐｒｉｎｃｉｐａｌｃｕｒｖａｔｕｒｅｓａｎｄｇｅｏｄｅｓｉｃｃｕｒｖａｔｕｒｅｓ利用上述曲面主方向的單位正交基的運(yùn)動(dòng)方程，可以獲得向量場(chǎng)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。定理１．２曲面主方向單位正交基下向量場(chǎng)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的表示。設(shè)ｂ為定義在質(zhì)點(diǎn)上的向量值，其物質(zhì)導(dǎo)數(shù)具有如下表達(dá)式ｄｂｄｔ＝ｄｅｂｄｔ＋Ω×ｂ式中ｄｅｂｄｔ為向量場(chǎng)相對(duì)于局部基的變化率，ｄｅｂｄｔ＝ｄｂ〈ξ〉ｄｔｅξ＋ｄｂ〈η〉ｄｔｅη＋ｄｂ〈ζ〉ｄｔｅζ；Ω定義為：Ω：＝ληＶ〈η〉ｅξ－λξＶ〈ξ〉ｅη＋（κｇ，ξＶ〈ξ〉－κｇ，ηＶ〈η〉）ｅζΩ可稱為

，ζ）＝（１－ζλξ）ｇξ（ξ，η）珔ｇη（ξ，η，ζ）＝（１－ζλη）ｇη（ξ，η）珔ｇζ（ξ，η，ζ）＝ｎ（ξ，η）烅烄烆可見(jiàn)沿法向不同當(dāng)?shù)厍娴膮f(xié)變基向量｛珔ｇξ（ξ，η，ζ），珔ｇη（ξ，η，ζ）｝與基準(zhǔn)曲面的協(xié)變基向量｛ｇξ（ξ，η），ｇη（ξ，η）｝保持平行，以此構(gòu)成曲面及其鄰域內(nèi)的正交基，如圖３所示�！拼砘妫痞拼懋�(dāng)?shù)厍�，其沿法向偏離基準(zhǔn)曲面∑的距離為ζ圖３基于曲面主方向的正交系Ｆｉｇ．３Ｔｈｅｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐａｌｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓｕｒｆａｃｅ對(duì)完整的正交基｛珔ｇξ（ξ，η，ζ），珔ｇη（ξ，η，ζ）；ｎ（ξ，η）｝進(jìn)行單位化，則獲得非完整的單位正交基｛ｅ〈ξ〉，ｅ〈η〉，ｅ〈ζ〉｝。按完整基理論，可以計(jì)算得非自然為零的Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符號(hào)，如下所示：珚Γ〈ξηξ〉＝１珚ｇ槡ηη?ｌｎ珚ｇ槡ξξ?η＝－珔κｇ，ξ珚Γ〈ηξη〉＝１珚ｇ槡ξξ?ｌｎ珚ｇ槡ηη?ξ＝－珔κｇ，η烅烄烆珚Γ〈ξζξ〉＝１珚ｇ槡ζζ?ｌｎ珚ｇ槡ξξ?ζ＝－珔λξ珚�！处铅痞恰担剑鲍姡鐦殾痞�?ｌｎ珚ｇ槡η

【參考文獻(xiàn)】：
期刊論文
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本文編號(hào)：3281287