運(yùn)用廣義復(fù)變函數(shù)方法,通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)膹V義保角映射,研究了一維正交準(zhǔn)晶中具有四條裂紋的橢圓孔口的平面彈性問題.通過引入應(yīng)力函數(shù),把平面彈性問題的基本方程簡(jiǎn)化為一個(gè)四階偏微分方程,從而給出了各個(gè)應(yīng)力分量在像平面的復(fù)表示,求得了裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解.當(dāng)描述缺陷的各參數(shù)發(fā)生變化時(shí),該文的結(jié)果不僅可以還原已有文獻(xiàn)中的結(jié)論,還可給出多種常見缺陷構(gòu)型的應(yīng)力強(qiáng)度因子,為工程力學(xué)分析提供了理論依據(jù). 

【文章來源】：應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué). 2019,40(02)北大核心

【文章頁數(shù)】：13 頁

【部分圖文】：

一維正交準(zhǔn)晶中帶有四條不對(duì)稱裂紋的橢圓孔口g.1FourcmckaoriginatingImmasellipticalholeembeddedis1DorthorhombicQCa;入方程(15)，再由條件(17)和(19)得:由于:;、二時(shí)，

e1=c1+c21－a2+b槡2a+b，e2=c2+c22－a2+b槡2a+b，f1=d1+d21+a2－b槡2a+b．(28)圖2帶四條裂紋的橢圓孔口外部到單位圓內(nèi)部的保角映射Fig．2Conformalmappingfromtheouterregionofanellipticalholewith4edgecrackstotheinsideofaunitcircle將ζk平面的單位圓內(nèi)部映射到zk平面內(nèi)的區(qū)域Ωk，且ω－1k(c1)→1，ω－1k(－c2)→－1，ω－1k(d1i)→C，ω－1k(－d1i)→C1，如圖2所示．記單位圓邊界為r，取ζk=σ=eiθ，0≤θ≤2π，則Ωk上兩個(gè)點(diǎn)被映射到單位圓上一個(gè)點(diǎn)，用Φ(0)k(ζk)表示ψ(0)k(zk)被映射后的函數(shù)．則式(23)和(24)可寫為∑2k=1［Φ(0)k(σ)+Φ(0)k(σ)］=ap4·h(σ槡)σ，(29)∑2k=1［ηkΦ(0)k(σ)+ηkΦ(0)k(σ)］=0．(30)對(duì)式(29)和(30)兩邊同時(shí)乘以12πidσσ－ζk，ζk為單位圓內(nèi)任意一點(diǎn)，然后沿邊界r積分，由Cauchy(柯西)積分定理，得12πi∫rΦ(0)k(σ)σ－ζkdσ=Φ(0)k(ζk)，12πi∫rΦ(0)k(σ)σ－ζkdσ=0，12πi∫rh(σ槡)σ(σ－ζk)dσ=h(ζk槡)ζk－g21+g槡23+g22+g槡23ζk，(3

3討論與結(jié)果當(dāng)幾何參數(shù)取極限時(shí)，可以得到一些特殊構(gòu)型的應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解，具體討論如下．情形1當(dāng)c2→a時(shí)，此時(shí)g2→1，構(gòu)型為具有三條裂紋的橢圓孔口，如圖3所示．由式(39)可知，在裂紋尖端點(diǎn)z=c1處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為KσⅢ=ap槡π2g12(g21－1槡)(1+g槡23+g21+g槡23)(bg21g21－槡1+ag1(g21－1))g21+g23+(1+g23)(g21+g23槡)[]槡．(40)圖3具有三條裂紋的橢圓孔口圖4非對(duì)稱共線雙裂紋的橢圓孔口Fig．3Anellipticalholewith3edgecracksFig．4Anellipticalholewith2unequaledgecracks情形2當(dāng)d1→b時(shí)，此時(shí)g3→0，構(gòu)型為具有非對(duì)稱共線雙裂紋的橢圓孔口，如圖4所示．由式(39)可知，在裂紋尖端點(diǎn)z=c1處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為KσⅢ=ap槡π2g1(g1+g2)2(g21－1槡)［bg21g21－槡1+ag1(g21－1)］(g21+g1g2槡)．(41)①當(dāng)c2→c1時(shí)，構(gòu)型為對(duì)稱共線雙裂紋的橢圓孔口，如圖5所示．由式(39)可知，在裂紋尖端點(diǎn)z=c1處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為KσⅢ=ap槡πg(shù)1g21－槡1bg21g21－槡1+ag1(g21－1槡)．(42)圖5對(duì)稱共線雙裂紋的橢圓孔口圖6帶單裂紋的橢圓孔口Fig．5Anellipticalholewith2equaledgecracksFig．6Anellipticalholewithanedgecrack②當(dāng)c2→a時(shí)，構(gòu)型為帶單裂紋的橢圓孔口，如圖6所示．

【參考文獻(xiàn)】：
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