發(fā)布時間：2020-10-21 08:01

　　 具有柔性約束的桿結構在工程中應用廣泛,但這類結構在受壓狀態(tài)下容易發(fā)生失穩(wěn),充分了解這類桿件臨界點的穩(wěn)定性及后屈曲特性,既可以提高材料的利用率,又能減少由失穩(wěn)引起的事故。目前,盡管在壓桿的屈曲和后屈曲問題研究方面已有大量成果,但大部分的研究都是針對于剛性約束壓桿來進行的,因此,對柔性約束壓桿后屈曲問題的仍需進一步探討。本文以Koiter穩(wěn)定性理論為研究基礎,分別分析了左端固定、右端由彈簧約束滑動鉸支座的壓桿,左固定、右端由彈簧約束豎向位移的壓桿,左端固定、右端由扭轉彈簧約束的壓桿,以及左端簡支、右端由扭轉彈簧約束的壓桿,它們在歐拉臨界載荷作用下的穩(wěn)定性,并分析了其初始后屈曲平衡路徑的分叉行為。將系統(tǒng)的勢能表示成轉角的泛函,通過勢能的增量求出二階變分和高階變分表達式。對于含有拉伸彈簧的壓桿,將擾動量展開成普通傅里葉級數形式,對于含有扭轉彈簧的壓桿,為了方便后續(xù)分析,利用Sturm-Liouville理論將其擾動量展開成廣義傅里葉形式,得到勢能二階變分的二次型,并將二次型的順序主子式化成初等表達式,再進一步由所有順序主子式的符號判斷二階變分的半正定性,給出了系統(tǒng)勢能二階變分半正定的證明。由二階變分半正定可得到歐拉臨界載荷,并求出壓桿的失穩(wěn)模態(tài)。根據勢能四階變分和六階變分的正負,可以判斷臨界點的穩(wěn)定性。再由Koiter初始后屈曲理論分析后屈曲平衡路徑的特點。結果表明,具有拉伸彈簧約束的壓桿,臨界狀態(tài)的穩(wěn)定性與彈簧的相對剛度有關,其勢能可能取極小也可能不取極小,所以臨界狀態(tài)既可能是穩(wěn)定的,也可能是不穩(wěn)定的。相應的后屈曲平衡路徑分別為正分叉和倒分叉形式。正分叉為穩(wěn)定的平衡路徑;倒分叉為不穩(wěn)定的平衡路徑。并給出了穩(wěn)定與不穩(wěn)定的后屈曲對應的彈性約束相對剛度的范圍。其中一端固定、另一端由彈簧支承滑動鉸支座的壓桿具有一個不穩(wěn)定的二重分叉點。具有扭轉彈簧約束的壓桿,其臨界狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定的,初始后屈曲也是大范圍穩(wěn)定的,平衡路徑均為正分叉形式。本文的主要創(chuàng)新點有:應用了廣義傅里葉級數分析柔性約束壓桿的穩(wěn)定性;提供了無窮階矩陣進行正定性判別的方法;提出了柔性約束壓桿可能具有不穩(wěn)定的臨界點。
【學位單位】：北京交通大學
【學位級別】：碩士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O316
【部分圖文】：

從桿的均勻壓縮變形轉變?yōu)閺澢冃�，其所涉及到的分叉行為就是一次分叉，�??非線性問題的分叉現(xiàn)象往往更加復雜多樣，不僅有單次分叉，還有多次分叉，如??圖１．?２中（ａ）、（ｂ）所示。??ｉ．Ｔ?ｉｘ??次分叉解枝＼?＾??廣??ｆ?／?次分叉解枝??（ａ）單次分－叉?（ｂ）多次分叉??圖１．２平衡曲線上的單次分叉與多次分叉Ｗ??Ｆｉｇ．?１．２?Ｓｉｎｇｌｅ?ａｎｄ?ｍｕｌｔｉｐｌｅ?ｂｒａｎｃｈｉｎｇ?ｏｎ?ｔｈｅ?ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ?ｃｕｒｖｅ［５］??分叉點是系統(tǒng)平衡路徑上的關鍵點，通常它可以反映系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性的變??化。但要具體分析這種變化，就必須進一步討論系統(tǒng)在分叉后的非線性行為，也??就是后屈曲的特性，這就需要我們根據高階導算子的性質來對不同情況下的分叉??行為進行分析。??１．２．３?Ｋｏｉｔｅｒ穩(wěn)定性理論??Ｋｏｉｔｅｒ將分支點附近足夠小的鄰域作為研宄對象，根據能量原理和穩(wěn)定性能量??３??

?（１－４０）??Ｌ?」４Ｃ?Ｇ?Ｌ?」??根據＜的正定性，可以對初始后屈曲的路徑進行分析，并判斷其穩(wěn)定性。設??載荷因子為Ａ，位移為ａ，則圖１．３（ａ）表不為＞０時的平衡路徑，１．３（ｂ）、（ｃ）分別給??出了為＝０時，＜０和４）?＞?〇的平衡路徑，１．３（ｄ）表不為＝＝?０？為＞０時的平衡路??徑。圖中實線代表穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，虛線代表不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，而點劃線表示??的是穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界。??／＞?？??／?乂??／?；??／／?＾?，Ｗ、??／／?／?ｉ?＼?＼??／?／?＼?＼??，??一?ａ?????ａ??Ａｙ?＞?０?Ａ３?＝０，Ａ４?＜?０??（ａ）?（ｂ）??／?乂??Ｌｃｒ?ｚ？義。??／?／????—ａ???—ａ??Ａｙ?＝?０，Ａ４?＞?０?Ａ｝?＝?Ａ４?＝?０＾?＞?０??（ｃ）?（ｄ）??圖１．３初始后屈曲平衡路徑及其穩(wěn)定性ｆ４９］??Ｆｉｇ．?１．３?Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ?ｏｆ?ｔｈｅ?ｉｎｉｔｉａｌ?ｐｏｓｔ－ｂｕｃｋｌｉｎｇ?ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ?ｐａｔｈ［４９］?

?文選取了？７?＝?０，Ｏ．ｌｒ２，〇．５？ｒ２，；ｒ２，５？ｒ２，?１０？ｒ２和／／－＞〇〇七種模態(tài)的情況繪出其??模態(tài)曲線，取撓度的最大值為１，繪得模態(tài)曲線如圖２．４中（ａ）所示，為了更清晰地??進行對比，截取了圖（ａ）中曲線較密集的部分進行適當放大，細節(jié)圖如（ｂ）所示，圖??中標注的數字為柔性約束相對剛度７／的取值。??謂：關??°．２?７?－?／?／?—???＇?１?１??０．８????Ｌ＿＿Ｉ???０．０?０．２?０．４?０．６?０．８?１．０?０．９?１．０??ＪＣ?ＪＣ??（ａ）?（ｂ）??圖２．４不同相對剛度柔性約束下的模態(tài)曲線??Ｆｉｇ．２．４?Ｍｏｄａｌ?ｃｕｒｖｅｓ?ｗｉｔｈ?ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ?ｒｅｌａｔｉｖｅ?ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ??２．２左端簡支、右端由扭轉彈簧約束的壓桿??圖２．５為左端簡支、右端由扭轉彈簧約束并在平面內可自由移動的壓桿，其勢??能表達式為??＿＝］■：＞’〔嘗）出－〇＿ｃｏｓ＿＋ｆ?ＨＪ２?（２．４７）??式中，６表示桿變形前長度，ｓ表示桿的軸線的弧長坐標０表示桿彎??曲時的轉角，＃表示軸向壓力，表示抗彎剛度，ｋ表示彈簧常數。??＾／／／／／／／／）／／／．?ｈ?Ｋ??ｒ?ｉ??圖２．５左端簡支、右端由扭轉彈簧約束的壓桿??Ｆｉｇ．２．５?Ａ?ｓｌｅｎｄｅｒ?ｃｏｌｕｍｎ?ｗｉｔｈ?ｏｎｅ?ｅｎｄ?ｐｉｎｎｅｄ?ａｎｄ?ｔｈｅ?ｏｔｈｅｒ?ｅｎｄ?ｃｏｎｓｔｒａ
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