邊界元方法對(duì)于無(wú)限域中彈性波散射求解具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì),但求解矩陣的非對(duì)稱稠密特征極大限制了該方法在大規(guī)模實(shí)際工程中的應(yīng)用。為此,基于單層位勢(shì)理論,結(jié)合快速多極子展開技術(shù),通過對(duì)球面壓縮波和剪切波勢(shì)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開,建立一種新的快速多極間接邊界元方法,以實(shí)現(xiàn)大規(guī)模彈性波三維散射的精確高效模擬。算例分析表明所提方法能夠大幅度降低計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)量,可在目前普通計(jì)算機(jī)上快速實(shí)現(xiàn)上百萬(wàn)自由度彈性波三維散射問題的快速精確求解。最后以全空間橢球形孔洞群對(duì)平面P波、SV波的散射為例,揭示了三維孔洞群周圍穩(wěn)態(tài)位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的若干分布規(guī)律。該文方法對(duì)低無(wú)量綱頻率(ka5.0)的大規(guī)模多體散射問題尤為適合。
【部分圖文】：

??給出了總場(chǎng)位移和應(yīng)力的計(jì)算公式。2)通過典型算例驗(yàn)證了方法的計(jì)算精度和求解效率�；贔MM-IBEM，以全空間橢球形孔洞群對(duì)彈性波的散射為例，揭示了孔洞群周圍位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的若干分布規(guī)律。最后，以上百萬(wàn)自由度的大規(guī)模隨機(jī)孔洞群對(duì)彈性波散射為例，進(jìn)一步驗(yàn)證了FMM-IBEM對(duì)求解大規(guī)模散射問題的簡(jiǎn)便高效。本文方法為實(shí)際當(dāng)中大規(guī)模彈性波散射問題的精細(xì)分析提供了一種新的途徑。1傳統(tǒng)間接邊界元法(IBEM)下面以全空間中三維孔洞對(duì)彈性波的散射為例，闡述傳統(tǒng)間接邊界元法的基本原理及實(shí)現(xiàn)步驟。計(jì)算模型如圖1所示。其中常規(guī)IBEM基于單層位勢(shì)理論，通過在邊界面上直接施加虛擬均布荷載，以構(gòu)造散射波常整體求解思路簡(jiǎn)便直觀，可看作是對(duì)惠更斯原理的數(shù)值實(shí)現(xiàn)[27]。散射波單元虛擬荷載分量等效圓盤單元3D孔洞散射面SReAAPyPzPx圖1三維孔洞對(duì)彈性波的散射間接邊界元法計(jì)算模型Fig.1Calculationmodelofelasticwavescatteringbya3DcavitybyIBEM考慮平面波(P波或SV波)入射，首先將總波場(chǎng)分解為自由場(chǎng)和散射常對(duì)于該三維問題，需在孔洞表面施加三個(gè)正交方向的虛擬荷載以構(gòu)造散射波常邊界元實(shí)施中，需首先將孔洞表面離散為三角形或四邊形單元，為便于處理本單元格林函數(shù)，采用斜面圓盤均布荷載近似覆蓋在離散單元上。進(jìn)而根據(jù)孔洞表面零應(yīng)力邊界條件建立方程，求解得到虛擬荷載密度。散射波場(chǎng)由各個(gè)單元上的虛擬荷載的綜合作用而得，最后將散射場(chǎng)和自由場(chǎng)疊加即得到總波常需指出的是，由于虛擬荷載直接施加在邊界面上，本方法對(duì)邊界形狀具有更好的適應(yīng)性。在不受體力作用情況下，各向同性彈性固體介質(zhì)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為：22(λ+μ)u+μu=ωu(1)式中：λ和μ為介質(zhì)的拉梅常數(shù)；為矢量微

BEMandthatofanalyticalsolution分別利用快速多極子間接邊界元法和球波函數(shù)展開法[31]計(jì)算全空間圓球形孔洞散射。圖5分別給出了全空間P波、SV波水平入射下圓球形孔洞y=0(θ=0~2π)截面位移幅值結(jié)果對(duì)比情況。取ka=1.0，a為圓球半徑，泊松比ν=1/3，單元離散數(shù)均取N=800，DOFs=2400，收斂殘差3ε10=。容易看出，本文所發(fā)展彈性波三維散射快速多極子間接邊界元法同精確解析解方法所得結(jié)果吻合良好。同解析解相比，本文方法可處理任意形狀散射體。向應(yīng)力幅值環(huán)|/|rrθθσσka=4.0ν=1/3z=0.0圖6不同展開階數(shù)環(huán)向應(yīng)力及解析解結(jié)果對(duì)比Fig.6Comparisonbetweenhoopstresscalculatedbydifferent-orderedTaylor-seriesexpansionandthatofanalyticalsolution由于波的散射引起的動(dòng)應(yīng)力集中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。圖6給出了不同展開階數(shù)求解環(huán)向應(yīng)力的結(jié)果并與精確解對(duì)比分析[32](環(huán)向應(yīng)力解答見附錄B)。取ka=4.0，a為圓球半徑，泊松比ν=1/3，單元離散數(shù)均取N=4600，DOFs=13800，y=0，收斂殘差3ε10=。由圖6，隨著展開階數(shù)的增加其吻合程度越好，但是其計(jì)算效率會(huì)有所下降(見通過M2L計(jì)算l層結(jié)點(diǎn)局部展開系數(shù)建立邊界元模型邊界單元離散并生成八叉樹結(jié)構(gòu)多極展開通過M2M計(jì)算各層結(jié)點(diǎn)多極展開系數(shù)采用常規(guī)IBEM計(jì)算近場(chǎng)源點(diǎn)貢獻(xiàn)通過M2L和L2L計(jì)算l+1層結(jié)點(diǎn)局部展開系數(shù)局部展開GMRES迭代求解迭代收斂輸出結(jié)果結(jié)束是M2M否M2LM2LL2LIBEM

也相差不大。注意，在本文中總計(jì)算時(shí)間包含多極展開系數(shù)、傳遞系數(shù)、局部展開系數(shù)以及近場(chǎng)常規(guī)計(jì)算、迭代求解的所有計(jì)算時(shí)間之和，其中多極展開系數(shù)、傳遞系數(shù)、局部展開系數(shù)計(jì)算時(shí)間約占總時(shí)間的80%~95%，其具體比重需根據(jù)計(jì)算頻率、樹結(jié)構(gòu)劃分程度、邊界面離散單元數(shù)目以及邊界面離散均勻性等綜合確定。值得指出的是，上述計(jì)算結(jié)果以及CPU計(jì)算時(shí)間統(tǒng)計(jì)，均是在16G內(nèi)存、64位Win7操作系統(tǒng)的個(gè)人電腦上(Intel(E3)3.2GHzCPU)，使用MatlabR2012a進(jìn)行編程運(yùn)算得到。若采用Fortran編譯器，計(jì)算時(shí)間還將大幅度減少。圖7FMM-IBEM與常規(guī)IBEM計(jì)算時(shí)間比較Fig.7ComparisonbetweencalculationtimeofFMM-IBEMandthatofIBEM
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