【摘要】：連續(xù)介質(zhì)的動力學(xué)演化所滿足的偏微分方程與相應(yīng)的邊界條件構(gòu)成定解問題。人們往往將有限尺寸系統(tǒng)中的偏微分方程變換到本征模式空間求解模式系數(shù)所滿足的無窮維常微分方程。對于確定的邊界條件(一般有第一類齊次和非齊次,第二類齊次和非齊次,以及這些邊界條件的混合),系統(tǒng)所具有的對稱性對非線性動力學(xué)的性質(zhì)也會產(chǎn)生重要影響。非線性導(dǎo)致模式之間產(chǎn)生耦合,使連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)產(chǎn)生豐富的動力學(xué)行為和斑圖結(jié)構(gòu),對稱性會加強(qiáng)某些模式之間的耦合強(qiáng)度而削弱另一些模式間的耦合強(qiáng)度。前人對一維非線性連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)或離散晶格系統(tǒng)的模式激發(fā)與演化做了大量研究,我們在本論文中主要關(guān)注的問題是:在不同對稱性下,二維連續(xù)介質(zhì)是如何在非線性作用下被激發(fā)并演化的。對此,我們以水表面波系統(tǒng)和二維非線性Schr?dinger方程為研究對象做了如下兩個工作:一、研究了長方形水槽系統(tǒng)中Faraday波的動力學(xué)演化,發(fā)現(xiàn)了一類具有新型結(jié)構(gòu)的水表面波——交替局域的二維Faraday波(Alternately Localized Faraday Wave,ALFW)。在實驗上,我們首先對振動臺的系統(tǒng)誤差對實驗的影響做了定量分析,并詳細(xì)刻畫了ALFW波的四個主要特征:(a)局域化與“懸臂振動”。這是其波形區(qū)別于其它波形最明顯的特征,即其振幅較大的區(qū)域不但在水槽的長方向上交替分布,也在窄方向上呈現(xiàn)出一端振蕩劇烈而相對的另一端平坦不動的“懸臂”式振蕩。(b)二模DCT譜與鎖相。ALFW波表現(xiàn)出的特殊局域化并非由復(fù)雜的模式構(gòu)成,而是簡潔的兩個模式——(12,0)模與(8,1)模。這兩個模式通過鎖相形成固定的相位差,從而產(chǎn)生較大的干涉相長和相消來形成ALFW波形。(c)動力學(xué)演化過程中模式間的“驅(qū)動-受激”關(guān)系。通過線性分析和非線性分析得到了描述ALFW波的動力學(xué)模型,即“驅(qū)動-受激”的參數(shù)驅(qū)動方程。(d)ALFW波關(guān)于參數(shù)的穩(wěn)定性。ALFW波在一定參數(shù)范圍內(nèi)可以穩(wěn)定出現(xiàn),這對于實驗觀測到該現(xiàn)象是必要的。在理論上,給出了形成ALFW波的線性和非線性動力學(xué)機(jī)制。通過水表面波線性化分析可以得到水表面波的模式系數(shù)所滿足的Mathieu方程。對無耗散和帶耗散Mathieu方程的穩(wěn)定性參數(shù)空間的詳細(xì)討論得出耗散和非線性在ALFW波的形成過程中起重要作用的結(jié)論。通過對水表面波所滿足的非線性方程做小振幅近似推導(dǎo)出低階的弱非線性動力學(xué)方程。在此基礎(chǔ)上,考慮到物理圖像上的要求,我們給出了用以描述ALFW波漸近動力學(xué)行為的強(qiáng)非線性模型。通過系統(tǒng)性地調(diào)整方程的待定參數(shù)使得數(shù)值模擬和實驗得到的兩類參數(shù)空間的相邊界彼此吻合,如此就確定了唯象模型中的方程參數(shù)。特別地,我們選擇特定參數(shù)做實驗并與數(shù)值模擬得到的時間序列作比較,證實了唯象模型對描述ALFW波的適用性。最后,我們對數(shù)值模擬所得到的參數(shù)空間相對于擬合得到的參數(shù)的敏感性做了詳細(xì)分析,結(jié)果表明唯象方程關(guān)于參數(shù)的選取具有較強(qiáng)的魯棒性。在這個工作的基礎(chǔ)上,我們將進(jìn)一步把其中的實驗技術(shù)和理論方法應(yīng)用到探究不可積系統(tǒng)(比如足球場形邊界的水槽)的水表面波動力學(xué)上。二、數(shù)值求解了足球場系統(tǒng)中的非線性Schr?dinger方程,從中發(fā)現(xiàn)了單個模式(主模)作為初態(tài)對其它模式的“指數(shù)激發(fā)”和“指數(shù)回歸”現(xiàn)象。同樣地,我們給出了線性和非線性動力學(xué)機(jī)制解釋了這兩個現(xiàn)象。通過線性分析可以得到主模的演化方程及其解析解,基于此給出了其它模式在主模的驅(qū)動下所滿足的線性化穩(wěn)定性方程。我們發(fā)現(xiàn)本征模式在非線性作用下與主模相互耦合導(dǎo)致的不穩(wěn)定性來源于兩種類型的機(jī)制:(a)對稱性所帶來正弦激發(fā)和(b)參數(shù)不穩(wěn)定性(復(fù)“Mathieu”方程)所帶來的指數(shù)激發(fā)。對具體模式(主模=200)的分析表明“指數(shù)激發(fā)”現(xiàn)象正是由于指數(shù)增長的模式的參數(shù)落到了復(fù)“Mathieu”方程參數(shù)空間的不穩(wěn)定區(qū)。最后,我們發(fā)現(xiàn)“回歸現(xiàn)象”發(fā)生在主模和失穩(wěn)模之間,兩者通過非線性耦合使能量在兩個模式之間按指數(shù)形式遞增或衰減。通過多重尺度微擾得到了兩個模式演化的漸近行為,其相圖是完全周期的并對初始值的選取是穩(wěn)定的。通過數(shù)值模擬非微擾方程得到其相空間結(jié)構(gòu),這是關(guān)于兩個模式對稱的相互咬合的“梳形結(jié)構(gòu)”,說明兩個模式的“主”、“失穩(wěn)”角色并不是絕對的,而是在演化過程中不斷轉(zhuǎn)換。這種角色轉(zhuǎn)換的機(jī)制使得每當(dāng)能量從一個模式轉(zhuǎn)移到另一個模式時,復(fù)“Mathieu”方程的適用性也會從“失穩(wěn)”模式轉(zhuǎn)移到之前的“主”模式上,從而回歸過程中的指數(shù)激發(fā)和衰減得到了完全的解釋。通過這兩個工作我們發(fā)現(xiàn),對于對稱性比較高的長方形水表面波系統(tǒng),模式間的非線性相互作用可以產(chǎn)生“驅(qū)動-受激”模式對,這方便了人們構(gòu)造強(qiáng)非線性模型來描述系統(tǒng)的動力學(xué)。對于對稱性比較弱的足球場系統(tǒng),導(dǎo)致模式失穩(wěn)的機(jī)制依賴于剩余的對稱性,即:對稱性使得耦合增強(qiáng)的模式可以通過正弦激發(fā)而失穩(wěn),耦合較弱的模式可以通過指數(shù)不穩(wěn)定失穩(wěn)。
【學(xué)位授予單位】：蘭州大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2019
【分類號】：O33
【圖文】：

地球的半徑設(shè)為 ，拋射物離地表的 (0) = 0, (0) = . 出所有參數(shù)和變量以及它們的量綱 為一個變量，構(gòu)建一個與 具有同樣量綱綱量。比如，在拋射問題這個具體例子中，為 ；而時間變量 的量綱與參數(shù)組合 / �，F(xiàn)在引入空間與時間的無量綱參數(shù) =2, = . 的時間和空間變量 , 其量級為 (1)。利用問題方程= 1(1 + )2, (0) = 0, (0) = 1, =

圖 1.2 多重時間尺度得解（虛線）與數(shù)值解（實線）比較。10(0,0) ++111(0,0) ++120(0,0) + = 0. (1.15)方程（1.15）的一階項 ( ):2120+0= 0 (1.16)初始條件為0(0,0) = 1,10(0,0) = 0, (1.17)求得解為0(1,2) = (2) cos[1+ (2)] . (1.18)容易看到，不失一般性，微擾的第二項需要考慮進(jìn) 303/6（否則會得到平庸解）, 故接下來通過“項平衡”來估計 與 的相對大小。我們得到 = = 2是

非線性 Schr dinger 方程在不可積1/4足球場系統(tǒng)中演化，增大至20，系統(tǒng)的熵（ ）顯示出模式系數(shù)為量子 Gibbs 分布。的興趣主要是試圖通探究二維實空間中非線性 Schr dinger 動力學(xué)性質(zhì)。對于形狀復(fù)雜的不可積彈球系統(tǒng)[36]，經(jīng)典動力的運(yùn)動軌跡呈現(xiàn)混沌行為。我們期望對這樣的不可積邊界系互作用會呈現(xiàn)出與規(guī)則邊界不一樣的行為。們的模擬中，將單個模式激發(fā)起來作為初始值，初始能量集中著非線性相互作用而逐漸擴(kuò)散到其它模式上。事實上，單個模線性作用下擴(kuò)散是人們經(jīng)常關(guān)注的經(jīng)典 Fermi-Pasta-Ulam（對 FPU 問題的研究已超過半個多世紀(jì)，在這個領(lǐng)域積累了大驗[38]。由于疤痕態(tài)是特殊的一類本征態(tài)，從數(shù)學(xué)的角度看中的演化與 FPU 問題緊密相聯(lián)，所以我們將其置于 FPU 問題上，F(xiàn)PU 問題主要關(guān)注有限維非線性系統(tǒng)的熱化過程。在初態(tài)，F(xiàn)PU 系統(tǒng)很快達(dá)到能均分的熱平衡狀態(tài)；而對于能量較小

【相似文獻(xiàn)】

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1 Wei-qiu CHEN;;連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的復(fù)興(英文)[J];Journal of Zhejiang University-Science A(Applied Physics & Engineering);2014年04期

2 鄭哲敏;非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)[J];中國科學(xué)院院刊;1993年04期

3 孫景s

本文編號：2801762