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第 11 卷第 4 期 2002 年 11 月

數(shù) 學 教 育 學 報
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION

Vol.11, No.4 Nov., 2002

計算機技術與數(shù)學創(chuàng)造性思維培養(yǎng)
潘巧明 1，張維忠 2
（1．麗水師范�？茖W校 計算機系，浙江 麗水

323000；2．浙江師范大學 數(shù)理與信息科學學院，浙江 金華 321004）

摘要：利用計算機技術創(chuàng)設數(shù)學教學情境，培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)造性思維是實現(xiàn)數(shù)學教育現(xiàn)代化的一條有效途徑．利用 計算機技術可以幫助學生積累數(shù)學知識，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)；激發(fā)創(chuàng)造性思維誘因；加強形象思維、發(fā)散思維和直覺思維的培養(yǎng)， 使學生能辯證地運用各種思維方式進行數(shù)學創(chuàng)造性思維． 關鍵詞：計算機；創(chuàng)造性思維；案例分析 中圖分類號：G434 文獻標識碼：A 文章編號：1004–9894（2002）04–0059–04

數(shù)學創(chuàng)造性思維是指主體在數(shù)學學習過程中， 通過自己的獨立思維活動解決數(shù)學問題的思維過 程，一般分為 4 個階段，即選擇與準備、醞釀與構(gòu) 思、領悟與突破、完善與檢驗，其結(jié)果是一種對已 有數(shù)學知識的再發(fā)現(xiàn)，或是解決了一個新的數(shù)學問 題．波利亞認為數(shù)學教育應盡可能地為學生從事獨 立的創(chuàng)造性活動提供機會，任何一個學生都可以在 某一水平上進行數(shù)學創(chuàng)造性思維活動．數(shù)學教學實 踐表明，數(shù)學創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的關鍵是激發(fā)學生創(chuàng) 造性思維的發(fā)生機制，計算機技術在數(shù)學教育中運 用，可以幫助學生積累數(shù)學知識，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)， 激發(fā)學生創(chuàng)造性思維誘因，從而加強學生形象思 維、發(fā)散思維和直覺思維的培養(yǎng)，使學生辯證地運 用各種思維方式進行數(shù)學創(chuàng)造性思維．筆者將根據(jù) 數(shù)學創(chuàng)造性思維形成理論和計算機技術的特點，通 過對數(shù)學 CAI 典型案例的分析， 具體探討如何利用 計算機技術培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)造性思維．

象， 學生聽懂了教師講課的內(nèi)容， 卻不會獨立解題， 更談不上創(chuàng)造性思維了．計算機技術在數(shù)學教育中 的運用，以其形象直觀的特點對數(shù)學對象進行多重 表征，使數(shù)學知識的反映形式更加適應學生已有的 認知基礎， 便于學生學習數(shù)學， 深入理解數(shù)學知識， 優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，是培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造性思維的 良好認知工具． 案例 1 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積學習． 研究圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關 系時，教師往往采用以數(shù)學符號為表達形式的公式 分析和語言文字分析相結(jié)合，說明 3 個公式之間的 聯(lián)系．學生的理解一般都只停留在短時記憶階段， 當時是懂了（能夠獨立寫出 3 個公式并闡述 3 者的 聯(lián)系） ，但在以后解決問題時卻不能靈活運用．一 次課上學生在知道圓臺的側(cè)面積公式的同時，還在 拼命地用腦子回憶圓柱、圓錐的公式，而不是用 3 者之間的聯(lián)系來幫助回憶．這一現(xiàn)象的根本原因就 在于他們當時僅僅是聽“懂”了，只是搞清楚了教 師的語言，教師正在進行的每一個運演步驟，學到 的知識在大腦中的儲備情況是零散的、片斷的，至 于數(shù)學最為本質(zhì)的思想并沒有在頭腦中形成有機 輪廓，所以這些知識在以后的運用過程中很難系統(tǒng) 地發(fā)揮作用．筆者針對這一情況，采用計算機輔助 教學，把圓柱、圓錐、圓臺 3 者側(cè)面積關系首先轉(zhuǎn) 化為 3 者的圖形關系，演示了由圓柱變成圓臺再變 成圓錐的過程，在此觀察基礎上讓學生分析出 3 者 的側(cè)面積關系，利用計算機技術創(chuàng)設情境，對數(shù)學 的理論達到能洞察其直觀背景，并能看清楚它是如 何從具體特例過渡到一般抽象形式．這種教學方法 的測試結(jié)果顯示學生能把這一知識納入長時記憶

1 積累數(shù)學知識 優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)
數(shù)學創(chuàng)造性思維依賴于扎實的基礎知識和技 能，并使所學的數(shù)學知識與方法系統(tǒng)化、條理化， 所以，優(yōu)化學生已有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是進行數(shù)學創(chuàng) 造性思維的前提．由于數(shù)學知識，特別是作為數(shù)學 教育內(nèi)容的基礎知識，可以用不同的數(shù)學命題來反 映．其中有的反映方式便于學習、理解和掌握，有 的則不然，像一些抽象、嚴謹，適合于科學研究的 反映方式，則不利于數(shù)學教育．所以在培養(yǎng)學生數(shù) 學創(chuàng)造性思維過程中，必須謹慎處理數(shù)學命題的反 映形式，盡可能讓學生容易理解，形成良好的數(shù)學 認知結(jié)構(gòu)．在數(shù)學教育中筆者�？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)

收稿日期：2002–10–20 基金項目：全國教育科學“十五”規(guī)劃教育部重點課題（DHA010276） 作者簡介：潘巧明（1970—） ，男，浙江松陽人，麗水師范�？茖W校計算機系講師，碩士，主要從事計算機輔助數(shù)學教學研究．

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中，取得較為理想的教學效果．我們的教學反思表 明，數(shù)學公式和數(shù)學語言雖然精練，但有時不利于 學生理解，而利用計算機技術呈現(xiàn)數(shù)學對象時，可 以超越傳統(tǒng)數(shù)學言語的表達形式，加深學生對數(shù)學 的體驗，有利于觀察和發(fā)現(xiàn)數(shù)學現(xiàn)象的本質(zhì)，形成 良好的知識結(jié)構(gòu)，在數(shù)學創(chuàng)造性思維培養(yǎng)中不失為 一種有效的手段．

了了之， 掩沒了創(chuàng)新思維的火花． 而現(xiàn)在這位學生， 在計算機技術的支持下很快驗證并否定了這個猜 想，并在驗證過程中產(chǎn)生了新的猜想，最終得出 SE?TE / (SE＋TE) = EU?EV / (EU＋EV) 這個完美的等式，并用數(shù)學邏輯進行了證明．在此 例教學中計算機技術提供了新的數(shù)學學習環(huán)境是 該生能夠順利進行創(chuàng)新思維的重要誘因，沒有計算 機提供的實驗環(huán)境，進行快速測量與及時反饋，學 生就會用更多的時間去做低水平的數(shù)學任務，漸漸 地失去進行創(chuàng)造性思維的激情．因此，我們必須充 分挖掘計算機潛力，創(chuàng)設出更多、更好的數(shù)學學習 環(huán)境，使它成為培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的有力工具．

2 激發(fā)學生創(chuàng)造性思維誘因
計算機技術能使一些數(shù)學關系可視化，并能展 現(xiàn)出數(shù)學關系的變化過程，快速反饋驗證結(jié)果，它 縮短了學生獲取數(shù)學體驗的時間，使數(shù)學教育有足 夠多的時間在高層次思維水平上進行，使學生對數(shù) 學的理解更深刻．比如利用計算機技術創(chuàng)設平移、 旋轉(zhuǎn)、反射對稱、放大、縮小，跟蹤軌跡情境，進 行設疑、制錯、創(chuàng)難、求變，激發(fā)創(chuàng)造性思維誘因， 是計算機培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造性思維的又一特長．我 們根據(jù)新舊知識內(nèi)在聯(lián)系和學生的認知水平，設計 出有利于學生探索的多種情境，利用新舊知識之間 的矛盾激發(fā)學生創(chuàng)造性思維誘因，讓學生提出問 題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，綜合運用各種思維方式 進行創(chuàng)造性思維． 案例 2 “蝴蝶定理”的學習． 從圓 O 任意一條弦的中點 E 作 2 條直線交圓得 4 個點 （如 圖 1 所示） ，連接 2 條線段后， 得到的圖形像是一只蝴蝶，2
?O L E M

3 培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的典型案例
在數(shù)學思維方式、方法方面，由于創(chuàng)造性思維 并非是一種單一性的思維，因此必須充分重視形象 思維、發(fā)散思維和直覺思維的培養(yǎng)，并注重各種思 維方式的辯證運用，以達到對學生創(chuàng)造性思維培養(yǎng) 的目的[2]．計算機技術在數(shù)學各種思維方式培養(yǎng)方 面，以其可以揭示出數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程， 挖掘出具體知識背后的數(shù)學思想和方法，充分暴露 數(shù)學思維過程等優(yōu)點，使學生創(chuàng)造性思維能力得到 培養(yǎng)． （1）利用計算機技術培養(yǎng)學生數(shù)學直覺思維能 力的典型案例分析． 案例 3 對橢圓與雙曲線“離心率”的認識． “離心率”是刻畫橢圓與雙曲線形狀的一個數(shù) 值，但利用傳統(tǒng)的教學手段很難說清這里“數(shù)”與 “形”之間的內(nèi)在聯(lián)系．對于一個確定的曲線（橢 圓或雙曲線） ，一眼看去誰也無法說出離心率確切 的數(shù)值；反之，在給定了離心率的數(shù)值后誰也無法 在黑板上畫出與此對應的準確的圖形．至于離心率 變化時曲線的形狀如何隨之變化，雙曲線的離心率 與漸近線之間夾角的內(nèi)在聯(lián)系，傳統(tǒng)教學只能通過 教師的講述啟發(fā)學生用“心靈”去想象了．借助于 計算機技術，學生的直覺思維被激活了．首先屏幕 上的線段 c 與 a 的長度可以通過鼠標拖動其端點加 以改變，這時橢圓的形狀也隨之改變．學生通過觀 察第一直覺是橢圓的形狀是能夠用 c 與 a 之比反映 的，再利用“幾何畫板”的測量功能即時地測量出 c 與 a 的長度、計算出它們的準確的比值并顯示在 屏幕上，由此可以方便地實現(xiàn)由定性到定量分析的 過渡，把問題引向深入．用什么數(shù)值刻畫橢圓的形

條線段與弦分別交于點 L、M， 圖 1 圓（一） 則有：LE=EM [1]． 學生不難證出這道題．計算機技術可以讓學生 驗證這個結(jié)論．在幾何畫板上，利用其度量功能， 移動 E 點觀察 2 線段長度，讓學生“看”到定理成 立．這一驗證激發(fā)了一位學 生的興趣，他提出如果再加 一個同心圓，2 圓與直線相 交得 8 個點，如圖 2 所示， 連接得到一個擴展的花蝴 蝶，其 2 翼與弦交得 4 個點 與 E 相連成線段，是否也有
S T

? O E U V

圖 2 圓（二） 某種等式關系．比如， SE＋TE=EU＋EV 或 SE?TE=EU?EV， 這種創(chuàng)新的猜想也許并不稀奇，但是在傳統(tǒng)的學習

環(huán)境下，這些猜想很難驗證正確與否，最后只能不

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狀最適合呢？進而研究離心率的大小與曲線形狀 的內(nèi)在聯(lián)系，什么時候橢圓顯得更“圓” ，什么時 候顯得更“扁” ；學生的直覺思維產(chǎn)生的猜想，立 刻在計算機上可以進行驗證．同時關注 c 與 a 的大 小關系對圖形的影響，當把 c 的長度調(diào)整到比 a 大 時，屏幕上的橢圓變成了雙曲線，再利用實驗的方 法研究離心率對雙曲線的形狀與漸近線的夾角的 影響．計算機的參與，使學生的直覺思維一步步得 到驗證，同時又產(chǎn)生一個又一個新的直覺思維猜 想，為學生創(chuàng)造性思維培養(yǎng)創(chuàng)設了良好的條件． （2）利用計算機技術培養(yǎng)學生數(shù)學形象思維能 力的典型案例分析． 案例 4 極限形式化定義學習． 其內(nèi)容已經(jīng)超越感官上能直接把握的直觀化 對象，是學生最難理解的定義之一．如果借助計算 機技術構(gòu)造想象來幫助理解這一定義，可以取得特 殊的效果．數(shù)列極限的“ε-N”定義，學生遇到語 句如此長的數(shù)學定義，加上其中包括那么多的數(shù)學 符號：ε、an、A、n、N，要讓學生理解它，必須 從學生可接收的粗略的描述極限的語言出發(fā)過渡 到十分形式化的ε-N 定義．為此，我們利用計算機 技術設計了如下的情景．在“如果一個無窮數(shù)列 an 變到后來無限制地接近某一個常數(shù) A，就說這個數(shù) 列的極限是常數(shù) A”這句話的下面動畫式地依次顯 示：①an 接近某一個常數(shù) A；②an 無限制地接近某 一個常數(shù) A；③an 變到后來無限制地接近某一個常 數(shù) A． 接著又在這 3 句話的后面依次顯示： an ? A ① 是一個很小的正數(shù)；② an ? A 能夠要多小有多小， 即對無論多小的正數(shù)ε，不等式 an ? A <ε能夠成 立；③對于預先給定的無論多小的正數(shù)，只需取足 夠遠的項 N，那么它以后所有的項都滿足 an ? A < ε ．稍后以此為背景我們開出一個窗口顯 示出數(shù)列極限的ε-N 定義．在此之后，通過具體例 子用圖表顯示 an ? A 的值； 用模擬的放大鏡在數(shù)軸 上顯示表示數(shù)列的點動態(tài)地趨向其極限的情況；為 幫助學生深入理解ε-N 定義， 利用計算機創(chuàng)設了自 由探試的環(huán)境：讓學生自由地鍵入 N，屏幕則顯示 相應的一個 N 及后面的 5 項的值和這些項與極限的 誤差．通過反復實驗，利用計算機技術對極限的形 式化定義精心設計其逐次精確化的過程，使原來難 懂的極限的ε-N 定義，變得容易理解了．這是一種 幫助學生形象思維新的嘗試，它讓學生通過親身參 與實驗與運算而不是聽教師講授來領悟數(shù)列極限

的概念．從感知到了解再過渡到形式化的定義，逐 次抽象，利用計算機技術激發(fā)學生已有知識和新知 識之間的聯(lián)系，幫助學生進行形象思維． （3）利用計算機技術培養(yǎng)學生數(shù)學發(fā)散思維能 力的典型案例分析． 案例 5 點的軌跡學習．
F A D E C

如圖 3，C 是圓 A 內(nèi)的一 個定點，D 是圓上的動點，求 線段 CD 的垂直平分線與半徑 AD 的交點的軌跡方程． 學生通過分析可得它的軌
圖3

圓（三）

跡是一個橢圓，至于它是否正確，如何檢驗是傳統(tǒng) 教學中一個難點．如果不經(jīng)過檢驗，學生難以形成 對軌跡的感性認識，無法看清問題的本質(zhì)，即使開 展變式訓練，也難以達到發(fā)散思維訓練的效果．此 時若用計算機技術輔助教學，讓學生用幾何畫板軟 件，親手實踐，拖動點 D，保留點 F 的軌跡，學生 目睹了橢圓軌跡的形成過程，同時發(fā)現(xiàn) EF 一直是 橢圓的切線，可以深入理解橢圓的第一定義．在此 基礎上進行一系列研究， 如在 CD 上另取一個點 G， 探求點 G 的軌跡；探求 CF 的中點 I 的軌跡，問題 的提出與解決激發(fā)了學生的興趣，學生開始自己提 出問題，進行聯(lián)想、類比和直觀推理．若點 C 拖到 圓外， 以上各題的點的軌跡會發(fā)生什么變化？在 EF 上取一點 S，S 的軌跡是什么？計算機技術使我們 可以深入研究這道題，通過這些探究使學生明確探 求一個點的軌跡，主要從 2 個角度解決問題，一是 找出動點變動的幾何條件，二是影響動點變動的因 素．一位同學在自編變式練習過程中，想尋找橢圓 的另一條關于長軸對稱切線，通過延長線段 DA 交 圓于 G，連結(jié) CG，作它的垂直平分線（另一條切 線）交 EF 于 H，發(fā)現(xiàn)不論切線怎么變化，2 切線 交點 H 的軌跡是始終在一條直線上（如圖 4） ，仔 細研究證實這條直線是橢圓的 準線，從而將橢圓的第一定義 與第二定義在這個變式練習過 程中有機地聯(lián)系在一起，計算 機技術在培養(yǎng)發(fā)散思維過程中 顯示了巨大的威力，發(fā)散思維
H D E F
?A

C

G

最終讓學生歸納出同類問題的 解題規(guī)律同時，還發(fā)現(xiàn)了數(shù)學定義間必然的聯(lián)系． 綜上所述，利用計算機技術創(chuàng)設數(shù)學教學情 境，培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造性思維是實現(xiàn)數(shù)學教育現(xiàn)代

圖4

圓（四）

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化的一條有效途徑．計算機技術以其能對數(shù)學對象 的多重表征、形象顯示和快速反饋的特長，幫助學 生積累數(shù)學知識，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，激發(fā)創(chuàng)造性思維 誘因，在培養(yǎng)形象思維、直覺思維和發(fā)散思維中發(fā)

揮重要作用，促進學生數(shù)學創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)．但 同時也要防止過分依賴媒體視覺化的效果，影響思 維的深度，導致數(shù)學抽象思維能力的削弱．

Technique of Computer and Culture of Mathematics Creativity Thinking
PAN Qiao-ming1, ZHANG Wei-zhong2
(1. Department of Computer Science, Lishui Training School, Zhejiang Lishui 323000, China; 2. Fatulty of Mathematics, Physics and Information Science, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China) Abstract: It was a valid path to realize modernization of mathematics education, which set up teaching situation by making use of the computer technique and culture the student creativity thinking of mathematics. It was discussed that application of the computer technique to culture mathematical creativity thinking by case analyze of mathematics CAI, such as to help the students to accumulate the knowledge of mathematics, to establish good cognition structure, stir up to incentive of creativity thinking, enhance the student culture of thinking in images, divergence thinking and intuitive thinking, make student can apply the every kind of thinking method doing mathematical creativity thinking. Key words: computer; creativity thinking; case analyzing

[責任編校：周學智]

勘誤
正如下： 數(shù)學教育學報 第七屆董事編委會

? 勘

誤 ?

（1） 《數(shù)學教育學報》2002 年第 3 期刊登的 王梓坤 院士致《數(shù)學教育學報》賀電，校對有誤現(xiàn)更

及有關同志： 今年是本學報創(chuàng)刊十周年．十年來，董事會及各位編委做了大量工作，在全國數(shù)學教育界的大力支 持下，本學報水平逐年提高，至今已成為全國高學術水平的刊物，深受數(shù)學界的廣泛歡迎．我作為主編，， 特向各位先生致以衷心的感謝，并預祝數(shù)學教育學報在內(nèi)容、裝幀、發(fā)行等各方面將有更大的進步，同 時也預祝第七屆董事編委會取得成功． 此致 敬禮 王梓坤 2002–06–08 （2） 《數(shù)學教育學報》2002 年第 3 期刊登的《西南聯(lián)大數(shù)學名師的“治學經(jīng)驗之談”及啟示》一文 （作者：徐利治 先生）中“許寶祿”應為“許寶 ” ．



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