本文關(guān)鍵詞：動態(tài)拓撲關(guān)系的幾何代數(shù)形式化解析與計算方法研究

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【摘要】：拓撲關(guān)系是GIS表達和計算的重要基石,也是拓撲數(shù)據(jù)模型、空間索引、空間分析以及數(shù)據(jù)表達與可視化的核心組件。當前對拓撲關(guān)系的形式化表達研究主要基于點集拓撲理論,并通過集合間的運算加以實現(xiàn)。在表達和計算過程中,對象間的拓撲關(guān)系更多的是通過諸如邊界、內(nèi)部、外部等抽象對象加以表達,導致拓撲關(guān)系的表達和計算上容易出現(xiàn)拓撲計算復雜、易出現(xiàn)拓撲歧義等問題。由于現(xiàn)有的拓撲關(guān)系表達和計算中原始的幾何對象及其幾何屬性難以被直接集成至拓撲關(guān)系計算模型中,導致了當前拓撲關(guān)系計算模型缺乏很好的動態(tài)適應性,即使在對象的運動特性已知的情況下,也只能通過迭代式的求解來實現(xiàn)對拓撲關(guān)系序列的計算。對動態(tài)拓撲關(guān)系形式化表達與計算模型的缺乏是限制當前時空GIS發(fā)展的關(guān)鍵。幾何對象及其運動的形式化、代數(shù)化表達方法的缺乏是導致當前動態(tài)拓撲關(guān)系形式化表達與計算困難的主要原因之一。傳統(tǒng)的GIS主要基于歐氏幾何,在歐氏空間下,不同的幾何對象間難以直接進行代數(shù)化、形式化的表達,幾何對象的運動也難以通過統(tǒng)一的運算算子加以描述,如歐氏空間下的平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等操作等均是通過不同的矩陣加以實現(xiàn)的。對象表達和運動表達上的形式化描述和代數(shù)化表達工具的缺乏導致了在歐氏空間下直接進行動態(tài)拓撲關(guān)系的形式化表達與計算具有相當?shù)碾y度。尋找可以有效連接幾何和代數(shù),并可有效表達對象運動的新型數(shù)學工具,進而在此基礎上進行動態(tài)拓撲關(guān)系的形式化表達研究是突破當前動態(tài)拓撲關(guān)系表達與計算瓶頸的可行途徑。面向?qū)ο髣討B(tài)拓撲關(guān)系的形式化表達和計算問題,本文通過引入內(nèi)蘊幾何維度構(gòu)造關(guān)系和幾何度量關(guān)系的幾何代數(shù)理論,借鑒函數(shù)的思想,在幾何對象多層次表達模型的基礎上,通過構(gòu)造共形幾何代數(shù)(CGA)空間,建立了多維對象的層次表達模型,實現(xiàn)了簡單幾何對象的多重向量表達,實現(xiàn)了對維度構(gòu)造關(guān)系、幾何度量關(guān)系以及函數(shù)結(jié)構(gòu)描述關(guān)系的統(tǒng)一表達。運動的表現(xiàn)形式有平移、縮放、旋轉(zhuǎn),在CGA中,可以統(tǒng)一用Versor表達,不同運動結(jié)合的復雜運動也均可被Versor算子統(tǒng)一表達,并可直接應用與幾何體的多重向量運算上�；赩ersor算子的對象運動表達具有解析性、動態(tài)性和自適應性等特點。運用Versor算子,構(gòu)造簡單幾何對象的運動表達,進而在此基礎上利用Meet等算子實現(xiàn)對簡單幾何對象之間的拓撲關(guān)系的形式化計算,并依據(jù)對象的層次表達模型,采取層層推理,由高維到低維的逐層判斷方式,減少不必要的冗余計算,設計了基于RCC-8模型的面面對象拓撲關(guān)系判斷方法,將對象形式化表達與幾何代數(shù)維度統(tǒng)一的計算性有效的結(jié)合起來,為研究動態(tài)的拓撲關(guān)系變化提供了理論支撐。針對運動過程中,拓撲關(guān)系變化的求解,本文首先結(jié)合剛體運動的特性,建立拓撲關(guān)系之間變化的基本規(guī)則與約束,進而結(jié)合表達與計算統(tǒng)一模型,通過構(gòu)建運動的平移軌跡與旋轉(zhuǎn)軌跡的表達,借鑒最小外接矩形的索引判斷方法,實現(xiàn)對運動軌跡與相對靜止對象的拓撲組合排列的分析,建立以運動軌跡對象排列為索引的的拓撲關(guān)系變化的定性判斷規(guī)則,并進一步對平移translater和旋轉(zhuǎn)rotor的解析完成對臨界值的求解與拓撲區(qū)間的劃分,完善拓撲變化序列,形成拓撲映射函數(shù)。構(gòu)建了運動對象的實時拓撲變化序列的求解模型。有效的解決了實時動態(tài)拓撲關(guān)系的求解。驗證部分,論文著重分析了以三角形為例的對象間的拓撲序列的求解過程,結(jié)果表明基于幾何代數(shù)的面對象表達支持動態(tài)拓撲關(guān)系的計算,驗證了拓撲序列和區(qū)間的求解規(guī)則的實用性,這為其它復雜對象間建模表達與空間分析統(tǒng)一求解提供了借鑒。
【學位授予單位】：南京師范大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：P208

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