【摘要】：有限差分方法(Finite Difference Method,FDM)作為一種快速而精確的數(shù)值方法,在波動(dòng)方程正演數(shù)值模擬領(lǐng)域得到了最為廣泛的應(yīng)用,然而,當(dāng)在不規(guī)則或者地表起伏不平的區(qū)域中模擬時(shí),基于規(guī)則網(wǎng)格的有限差分法對(duì)波動(dòng)方程離散時(shí)會(huì)產(chǎn)生階梯狀近似,影響模擬的精度,給有限差分方法的求解帶來困難。通過求解橢圓型偏微分方程生成的貼體網(wǎng)格為這種復(fù)雜區(qū)域中的有限差分波場模擬問題提供了一種有效的手段。借助貼體網(wǎng)格以及鏈?zhǔn)椒▌t,將空間導(dǎo)數(shù)的計(jì)算從不規(guī)則的物理區(qū)域轉(zhuǎn)換到規(guī)則的計(jì)算域,在計(jì)算域中繼續(xù)使用有限差分方法。相比其他的不規(guī)則網(wǎng)格剖分方法,如插值法、映射法以及非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,貼體網(wǎng)格在普遍性、精度和穩(wěn)定性方面都有優(yōu)勢。本文在復(fù)雜區(qū)域綜合應(yīng)用了貼體網(wǎng)格、聲波方程正演模擬、逆時(shí)偏移(Reverse Time Migration,RTM)以及完全匹配層(Perfectly Matched Layer,PML)等技術(shù)。首先通過求解橢圓偏微分方程法生成貼體網(wǎng)格,根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t代入順序不同,將二階位移形式的二維聲波方程改寫到曲線網(wǎng)格中,得到了兩種形式的貼體坐標(biāo)二維聲波方程,第二種形式的波動(dòng)方程相比第一種形式而言,形式對(duì)稱、更緊湊。為了壓制截?cái)噙吔缭斐傻娜斯み吔绶瓷?推導(dǎo)了兩種形式的聲波方程對(duì)應(yīng)的PML方程。在復(fù)雜起伏地表區(qū)域中,分部求和(Summation-by-Parts,SBP)有限差分方法的使用能夠確保曲線網(wǎng)格中非均勻介質(zhì)數(shù)值模擬的穩(wěn)定性。SBP有限差分法特別適合求解含變系數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。因此,對(duì)兩種形式的波動(dòng)方程及PML針對(duì)性地采用了不同的差分方法:第一種形式中,導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)可預(yù)先求得,采用中心差分方法進(jìn)行數(shù)值離散;第二種形式中含變系數(shù),因此采用顯式的二階精度SBP有限差分方法進(jìn)行離散,并采用Fourier譜分析方法討論了這種離散格式的穩(wěn)定性。與中心有限差分方法對(duì)比,分部求和有限差分方法的穩(wěn)定性更高。四階精度的有限差分方法在降低存儲(chǔ)需求和提高效率方面有很大的優(yōu)勢。在二階精度中心差分方法和SBP有限差分方法的基礎(chǔ)上,將兩種形式的貼體網(wǎng)格聲波方程和PML中空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的離散均擴(kuò)展到四階精度。采用Fourier譜分析方法研究了該四階SBP差分離散格式的穩(wěn)定性,得到了離散方程的穩(wěn)定性條件,并驗(yàn)證了四階精度SBP有限差分方法比中心有限差分方法的穩(wěn)定性更高。同時(shí),在同樣尺寸的模型中比較了二階和四階精度SBP有限差分方法的計(jì)算時(shí)間及存儲(chǔ)需求,驗(yàn)證了四階方法的高精度、低頻散特性,顯示了四階方法在提高運(yùn)算效率、降低存儲(chǔ)方面的能力。本論文將貼體網(wǎng)格的方法分別應(yīng)用于地面地震和VSP(Vertical Seismic Profiling,垂直地震剖面)資料的逆時(shí)偏移研究,得到了曲線坐標(biāo)系中各自對(duì)應(yīng)的成像數(shù)據(jù)體,為解決實(shí)際地震采集中觀測系統(tǒng)不規(guī)則、地表起伏等情況下的數(shù)據(jù)處理難題提供一種有效的技術(shù)手段。
[Abstract]:As a fast and accurate numerical method, finite difference method (Finite Difference) has been widely used in the field of forward numerical simulation of wave equations. The finite difference method based on regular grid will produce ladder approximation when the wave equation is discretized, which will affect the accuracy of the simulation and make it difficult to solve the finite difference method. The body-fitted meshes generated by solving elliptic partial differential equations provide an effective means for the finite difference wave field simulation in this complex domain. With the help of body-fitted meshes and chain rules, the computation of spatial derivatives is transformed from irregular physical regions to regular computational domains, and the finite difference method is used in the computational domain. Compared with other irregular mesh generation methods, such as interpolation, mapping and unstructured meshes, body-fitted meshes have advantages in universality, accuracy and stability. In this paper, the techniques of body-fitted mesh, forward modeling of acoustic wave equation, inverse time migration (Reverse Time migration and perfectly matched layer (Perfectly Matched are applied in complex regions. Firstly, the body-fitted grid is generated by solving the elliptic partial differential equation. According to the different order of the chain rule, the two-dimensional acoustic wave equation in the form of second-order displacement is rewritten into the curvilinear grid, and two kinds of two-dimensional acoustic wave equations with body-fitted coordinates are obtained. The second form of wave equation is more symmetrical and compact than the first one. In order to suppress the artificial boundary reflection caused by truncated boundary, the PML equation corresponding to two kinds of acoustic wave equations is derived. In complex undulating surface regions, the use of the Summation-by-Partss-SBP finite difference method can ensure the stability of numerical simulation of non-uniform media in curved grids. The SBP finite difference method is particularly suitable for solving derivative terms with variable coefficients. In the first form, the coefficient of the derivative term can be obtained in advance, and the central difference method is used to discretize the two forms of wave equation and PML. Therefore, the explicit second-order precision SBP finite difference method is used for discretization, and the stability of the scheme is discussed by using the Fourier spectrum analysis method. Compared with the central finite difference method, the partial summation finite difference method is more stable. The fourth order finite-difference method has great advantages in reducing storage requirements and improving efficiency. Based on the second-order precision central difference method and the SBP finite difference method, the dispersion of the two kinds of body-fitted mesh acoustic equations and the spatial derivative term in PML are extended to the fourth order accuracy. The stability of the fourth order SBP difference discrete scheme is studied by using the Fourier spectrum analysis method. The stability conditions of the discrete equation are obtained, and the stability of the fourth order precision SBP finite difference method is proved to be higher than that of the central finite difference method. At the same time, the computation time and storage requirement of the second-order and fourth-order precision SBP finite difference method are compared in the model of the same size. The high precision and low frequency dispersion characteristics of the fourth-order method are verified, and it is shown that the fourth-order method is improving the computational efficiency. Reduce storage capabilities. In this paper, the method of body-fitted grid is applied to the inverse time migration of surface seismic and VSP (Vertical Seismic Profiling, vertical seismic profiles, and the corresponding imaging data volume in the curvilinear coordinate system is obtained. In order to solve the problem of data processing in the case of irregular observation system and surface undulation in actual seismic acquisition, this paper provides an effective technical means.
【學(xué)位授予單位】：中國石油大學(xué)(北京)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：P631.4

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本文編號(hào)：2182038