發(fā)布時(shí)間：2017-03-10 12:09

  本文關(guān)鍵詞：AHP，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

2014年參加數(shù)學(xué)建模美賽， 其中一道題是選出5大優(yōu)秀教練，數(shù)據(jù)來(lái)源要求自行尋找。 在比賽中，我們運(yùn)用了層次分析法（AHPAnalytic Hierarchy Process）進(jìn)行建模，好不容易理解了這一方法的思想，在自己的博客里記錄一下，希望可以幫助初次接觸層次分析法的人，更快地理解這一的整體思想，也利于進(jìn)一步針對(duì)細(xì)節(jié)進(jìn)行學(xué)習(xí)。文章內(nèi)容主要參閱 《matlab數(shù)學(xué)建模算法實(shí)例與分析》，部分圖片來(lái)源于WIKI

文章分為2部分：

1第一部分以通俗的方式簡(jiǎn)述一下層次分析法的基本步驟和思想

2第二部分介紹一下我們隊(duì)伍數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，對(duì)層次分析法的應(yīng)用，中間有些地方做了不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评�，例如關(guān)于一致性的檢驗(yàn)，如有人發(fā)現(xiàn)不正確，希望可以指正

第一部分：

層次分析法（Analytic Hierarchy Process ，簡(jiǎn)稱(chēng) AHP ）是對(duì)一些較為復(fù)雜、較為模糊的問(wèn)題作出決策的簡(jiǎn)易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問(wèn)題。它是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家T. L. Saaty 教授于上世紀(jì) 70 年代初期提出的一種簡(jiǎn)便、靈活而又實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法。

人們?cè)谶M(jìn)行社會(huì)的、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問(wèn)題的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個(gè)由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。層次分析法為這類(lèi)問(wèn)題的決策和排序提供了一種新的、簡(jiǎn)潔而實(shí)用的建模方法。 

運(yùn)用層次分析法建模，大體上可按下面四個(gè)步驟進(jìn)行： 
（i ）建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型； 
（ii ）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣； 
（iii ）層次單排序及一致性檢驗(yàn)； 
（iv ）層次總排序及一致性檢驗(yàn)。 

這四個(gè)步驟中，前兩個(gè)步驟最容易理解，后兩個(gè)步驟需要一點(diǎn)時(shí)間理解

首先從層次結(jié)構(gòu)模型說(shuō)起

層次分析法是用來(lái)根據(jù)多種準(zhǔn)則，或是說(shuō)因素從候選方案中選出最優(yōu)的一種數(shù)學(xué)方法

最頂層是我們的目標(biāo)，比如說(shuō)選leader，選工作，選旅游目的地

中間層是判斷候選方物或人優(yōu)劣的因素或標(biāo)準(zhǔn)

選工作時(shí)有：發(fā)展前途  ，待遇 ，工作環(huán)境等

選leader時(shí)有：年齡，經(jīng)驗(yàn)，教育背景，魅力

在分層以后，為了選出最優(yōu)候選

給目標(biāo)層分配值1.000

然后將這一值作為權(quán)重，分配給不同因素，對(duì)應(yīng)因素的權(quán)重大小代表該因素在整個(gè)選擇過(guò)程中的重要性程度

然后對(duì)于候選方案，每一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)再將其權(quán)重值分配給所有的候選方案，每一方案獲得權(quán)重值，來(lái)源于不同因素分得的權(quán)重值的和

如下圖：(alternative1)0.333=0.250/4(criterion1)+0.250/4(criterion2)+0.250/4(criterion3)+0.250/4(criterion4)

最終獲得的各個(gè)方案的的權(quán)重值的和依然為1

例如選工作時(shí)，待遇所占的比重為0.8， 有工作1,2,3候選，     如果工作1的待遇最高，工作2的待遇次之，工作3最差，則可將0.8的值按0.4,0.3，0.1分給工作1,2,3,

這不就是一個(gè)簡(jiǎn)單的權(quán)重打分的過(guò)程嗎？為什么還要層次分析呢。這里就有兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：

1每個(gè)準(zhǔn)則（因素）權(quán)重具體應(yīng)該分配多少

2每一個(gè)候選方案在每一個(gè)因素下又應(yīng)該獲得多少權(quán)重

這里便進(jìn)入層次分析法的第二個(gè)步驟，也是層次分析法的一個(gè)精華（構(gòu)造比較矩陣（判斷矩陣）comparison matrix）：

首先解決第一個(gè)問(wèn)題：每個(gè)準(zhǔn)則（因素）權(quán)重具體應(yīng)該分配多少？

如果直接要給各個(gè)因素分配權(quán)重比較困難，在不同因素之間兩兩比較其重要程度是相對(duì)容易的

現(xiàn)在將不同因素兩兩作比獲得的值aij  填入到矩陣的 i 行 j 列的位置，則構(gòu)造了所謂的比較矩陣，對(duì)角線上都是1， 因?yàn)槭亲约汉妥约罕?/span>

這個(gè)矩陣容易獲得，我們?nèi)绾螐倪@一矩陣獲得對(duì)應(yīng)的權(quán)重分配呢

這里便出現(xiàn)了一個(gè)比較高級(jí)的概念，正互反矩陣和一致性矩陣

首先正互反矩陣的定義是：

我們目前構(gòu)造出的矩陣很明顯就是正互反矩陣

而一致性矩陣的定義是：

這里我們構(gòu)造出的矩陣就不一定滿足一致性，比如我們做因素1：因素2= 4：1  因素2：因素3=2:1    因素1：因素3=6:1（如果滿足一致性就應(yīng)該是8:1），我們就是因?yàn)殡y以確定各因素比例分配才做兩兩比較的，如果認(rèn)為判斷中就能保證一致性，就直接給出權(quán)重分配了

到了關(guān)鍵部分，一致性矩陣有一個(gè)性質(zhì)可以算出不同因素的比例

這里的w就是我們想要知道的權(quán)重，所以通過(guò) 求比較矩陣的最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，就可以獲得不同因素的權(quán)重，歸一化一下（每個(gè)權(quán)重除以權(quán)重和作為自己的值，最終總和為1）就更便于使用了。（實(shí)際上寫(xiě)這篇博客就是因?yàn)�，重新翻了線代的書(shū)才好不容易理解這里的，就想記錄下來(lái)）

這里補(bǔ)充一點(diǎn)線性代數(shù)的知識(shí)：

    n階矩陣有n個(gè)特征值，每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)一個(gè)n維特征列向量，特征值和特征向量的計(jì)算方法這里就省略了，反正書(shū)中的程序是直接用matlab 的eig函數(shù)求的

這里不能忘了，我們給出的比較矩陣一般是不滿足一致性的，但是我們還是把它當(dāng)做一致矩陣來(lái)處理，也可以獲得一組權(quán)重，但是這組權(quán)重能不能被接受，需要進(jìn)一步考量

例如在判斷因素1,2,3重要性時(shí)，可以存在一些差異，但是不能太大，1比2重要，2比3 重要，1和3比時(shí)卻成了3比1重要，這顯然不能被接受

于是引入了一致性檢驗(yàn)：

          一致性的檢驗(yàn)是通過(guò)計(jì)算一致性比例CR 來(lái)進(jìn)行的

          

          當(dāng) 10 . 0 < CR 時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對(duì)判斷矩陣作適當(dāng)修正。 

CI的值由判斷矩陣計(jì)算獲得，RI的值查表獲得，具體的計(jì)算公式這里就略去，重點(diǎn)是理解為什么要做一致性檢驗(yàn)

接下來(lái)解決第二個(gè)問(wèn)題：每一個(gè)候選方案在每一個(gè)因素下又應(yīng)該獲得多少權(quán)重

這里則需要將不同候選方案，在不同因素下分別比較，具體的比較方法，還是使用比較矩陣，只不過(guò)之前準(zhǔn)則層的比較矩陣比較的對(duì)象是因素，這里比較的是某一因素下，候選方案的優(yōu)劣， n個(gè)因素則需構(gòu)造出來(lái)n個(gè)比較矩陣

例如在工作環(huán)境的因素下，工作1與工作2相比為 ：4:2，工作2與工作3=2:1  工作1：工作3=6：1.，這樣構(gòu)造一個(gè)矩陣，再用之前的一致性矩陣的方法就可以求出一個(gè)權(quán)重，然后相對(duì)應(yīng)因素（這里是工作環(huán)境）所擁有的權(quán)值就可以按這個(gè)權(quán)重比例分配給不同候選物或人。

其他因素同理

至此兩個(gè)問(wèn)題就都得到了解決

最終將每個(gè)候選物、人從不同因素獲得的權(quán)值求和，就可以得到不同候選對(duì)于目標(biāo)層的權(quán)值大小，繼而可以根據(jù)值的大小，來(lái)選出優(yōu)劣

對(duì)于第一部分的總結(jié)：

         通過(guò)對(duì)層次分析法的基本了解，不難發(fā)現(xiàn)層次分析法對(duì)人們的思維過(guò)程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問(wèn)題的方法，為
科學(xué)管理和決策提供了較有說(shuō)服力的依據(jù)，但很明顯的缺點(diǎn)是，整個(gè)分析過(guò)程似乎都是依賴(lài)于人的主觀判斷思維，一來(lái)不夠客觀，二來(lái)兩兩比較全部人為完成，還是非常耗費(fèi)精力的，尤其是當(dāng)候選方案比較多的時(shí)候。

文章的第二部分：

層次分析法的變形應(yīng)用（也可能本來(lái)就是這樣用的，只不過(guò)參考書(shū)上沒(méi)這樣說(shuō)，外語(yǔ)
論文沒(méi)細(xì)看）解決最優(yōu)教練選擇問(wèn)題

目標(biāo)：選最優(yōu)教練

準(zhǔn)則：  職業(yè)生涯所帶隊(duì)伍的勝率      

職業(yè)生涯所帶隊(duì)伍的勝場(chǎng)            

從教時(shí)長(zhǎng)（年）          

職業(yè)生涯所帶隊(duì)伍獲獎(jiǎng)狀況（化成分?jǐn)?shù)）

  

候選：  眾多教練

準(zhǔn)則層的比較矩陣好構(gòu)造 ，作6次兩兩比較，就可以獲得4*4的比較矩陣

問(wèn)題在于候選層的比較矩陣怎么獲得，有4000個(gè)教練的話，得比4000*3999次，這里就不必人為比較了，引入定量的數(shù)據(jù)用程序控制作比即可

勝率因素下就用勝率兩兩作比構(gòu)造矩陣，從教時(shí)長(zhǎng)因素下就用年長(zhǎng)來(lái)做比

這里又有兩點(diǎn)可以注意：

1.不同因素下數(shù)據(jù)的量綱和性質(zhì)不一樣，直接用數(shù)據(jù)作比來(lái)分配，不一定合適，比如勝率越要接近1越難，0.7比勝率0.5  和勝率0.9比0.7  ，后者比值比前者小，這顯然不合適。建模中我們結(jié)合了冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)處理。

2.這里的用定量數(shù)據(jù)作比獲得的矩陣顯然滿足一致性要求，不需要做一致性檢驗(yàn)（想做還不好做，，計(jì)算CR的值要有RI，RI的值查表只給出9個(gè)，計(jì)算4000個(gè)教練，需要4000個(gè)RI呢）

綜上就對(duì)層次分析法完成了定性定量結(jié)合的應(yīng)用，以及對(duì)多個(gè)候選方案的比較（其實(shí)只是就是用程序控制數(shù)據(jù)作比，我們水平有限，能成功應(yīng)用該方法已經(jīng)不容易了）

很遺憾的是比賽時(shí)編寫(xiě)的代碼存放的優(yōu)盤(pán)不慎丟失， 沒(méi)有辦法把代碼共享出來(lái)， 這里只能將書(shū)中的代碼貼出。比賽建模時(shí)， 就是在這個(gè)代碼基礎(chǔ)上進(jìn)行修改實(shí)現(xiàn)。 只要理解了下列代碼，編寫(xiě)符合自己需求的程序， 應(yīng)當(dāng)是水到渠成的事。

 代碼:

clc,clear fid=fopen('txt3.txt','r'); n1=6;n2=3; a=[]; for i=1:n1 tmp=str2num(fgetl(fid)); a=[a;tmp]; %讀準(zhǔn)則層判斷矩陣 end for i=1:n1 str1=char(['b',int2str(i),'=[];']); str2=char(['b',int2str(i),'=[b',int2str(i),';tmp];']); eval(str1); for j=1:n2 tmp=str2num(fgetl(fid)); eval(str2); %讀方案層的判斷矩陣 end end ri=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]; %一致性指標(biāo) [x,y]=eig(a); lamda=max(diag(y)); num=find(diag(y)==lamda); w0=x(:,num)/sum(x(:,num)); cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1) for i=1:n1 [x,y]=eig(eval(char(['b',int2str(i)]))); lamda=max(diag(y)); num=find(diag(y)==lamda); w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num)); cr1(i)=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2); end cr1, ts=w1*w0, cr=cr1*w0

txt3.txt 中的內(nèi)容：

1 1 1 4 1 1/2 1 1 2 4 1 1/2 1 1/2 1 5 3 1/2 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 1 1 1/3 3 1 1 2 2 2 3 3 1 1 1/4 1/2 4 1 3 2 1/3 1 1 1/4 1/5 4 1 1/2 5 2 1 1 3 1/3 1/3 1 1/7 3 7 1 1 1/3 5 3 1 7 1/5 1/7 1 1 1 7 1 1 7 1/7 1/7 1 1 7 9 1/7 1 1 1/9 1 1

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本文編號(hào)：250105