為解決Black-Scholes模型幾何布朗運動的假設(shè)與實際資產(chǎn)變化的波動率"微笑"不符的問題,跳擴(kuò)散模型在幾何布朗運動中引入隨機(jī)跳推廣了Black-Scholes模型.在跳幅度為常數(shù)的跳擴(kuò)散模型下采用有限差分方法對歐式期權(quán)定價.利用中心差商近似跳擴(kuò)散模型中的擴(kuò)散項,利用矩陣代數(shù)近似模型中的跳項,對于離散得到的常微分方程組采用向前Euler格法求解,得出歐式期權(quán)定價的有效數(shù)值解,并繪制出該模型在不同參數(shù)影響下的隱含波動率曲線圖.研究結(jié)果表明,相對于蒙特卡洛模擬,有限差分方法因具有更加穩(wěn)健、有效、精度高的特點可被廣泛應(yīng)用于期權(quán)定價.
【部分圖文】：

送猓?邢薏罘址椒ê?計算速度和剖分的網(wǎng)格數(shù)有關(guān)，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)為50×500時，計算一支期權(quán)大概需要0.7s，蒙特卡洛模擬的計算速度和模擬次數(shù)有關(guān)，當(dāng)模擬次數(shù)為1000000次時，計算一支期權(quán)大概需要99s.蒙特卡洛方法的正確性和模擬次數(shù)有關(guān)，往往需要上百萬次的模擬才可以得到理想的結(jié)果，這無疑降低了計算速度.相比之下，有限差分方法只要少量的網(wǎng)格數(shù)即可得到理想的結(jié)果.因此，有限差分方法更加穩(wěn)艦有效.進(jìn)一步，我們以有限差分方法計算的期權(quán)價格作為市場價格利用B-S公式[1]計算隱含波動率，圖1和圖2分別繪出了模型（1）在不同跳幅度參數(shù)γ和強(qiáng)度參數(shù)λ的隱含波動率曲線圖像.隱含波動率圖1γ取不同值的隱含波動率Fig1impliedvolatilitywithdifferentγ

遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）第38卷遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）網(wǎng)址：http://202.199.224.158/http://xuebao.lntu.edu.cn/384圖2λ取不同值的隱含波動率Fig.2impliedvolatilitywithdifferentλ圖1和圖2顯示，跳擴(kuò)散模型的隱含波動率和參數(shù)γ成反比，和參數(shù)λ成正比，即隨著γ的增大，隱含波動率降低，而隨著λ的增大，隱含波動率增大.不同取值下的隱含波動率都呈現(xiàn)出“微笑”形狀，這說明，跳擴(kuò)散模型糾正了Black-Scholes模型連續(xù)過程假設(shè)的缺陷，是對實際資產(chǎn)價格走勢的合理近似.4結(jié)論（1）本文以歐式看漲期權(quán)為例，在跳幅度為常數(shù)的跳擴(kuò)散模型下給出了歐式期權(quán)滿足的偏微分方程，導(dǎo)出了偏微分方程的有限差分格式，并給出了差分方程的數(shù)值解法.（2）第通過數(shù)值模擬驗證了數(shù)值方法的有效性.數(shù)值結(jié)果顯示，相對于蒙特卡洛方法，有限差分方法更加有效.（3）第三，繪制了跳擴(kuò)散模型在不同跳幅度γ和強(qiáng)度參數(shù)λ的隱含波動率曲線.結(jié)果顯示，跳擴(kuò)散模型能夠糾正Black-Scholes模型連續(xù)過程假設(shè)的缺陷，是對實際資產(chǎn)價格走勢的合理近似.參考文獻(xiàn):[1]姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學(xué)模型與方法(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2008.[2]RAMIREZ-ESPINOZAGI,EHRHARDTtM.Conservativeandfinitevolumemethodsfortheconvection-dominatedpricingproblem[J].AdvancesinAppliedMathematicsandMechanics,2013,5(6):759-790.[3]張琪,張然,宋海明.美式回望期權(quán)定價問題的有限體積法[J].物理學(xué)報,2015,64(7):0702021-0702028.[4]EHRARDTM,MICKENS,RE.Anonstandardfinitedifferenceschemeforconvection-diffusioneq
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